Toán học lớp 11 · KNTT · Chương 3

Lý thuyết Toán 11 Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm · Kết nối tri thức với cuộc sống

Tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm theo chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá toàn bộ định nghĩa, tính chất, hình vẽ minh họa trực quan, công thức KaTeX chuẩn và câu hỏi củng cố có lời giải chi tiết.

Lớp

10 11 12

Môn

Toán học Vật lý Hóa học Ngữ văn Tiếng Anh Sinh học Lịch sử Địa lý Giáo dục kinh tế & pháp luật Tin học Công nghệ

I. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $\overline{x}$ .

$\overline{x} = \frac{m_{1}x_{1} + ... + m_{k}x_{k}}{n}$

trong đó, n = m₁ + … + m_k là cỡ mẫu và $x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}$ (với i = 1, …, k) là giá trị đại diện của nhóm [a_i; a_i+1).

Chú ý: Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng k₁ – k₂, trong đó k₁, k₂ ∈ ℕ. Nhóm k₁ – k₂ được hiểu là nhóm gồm các giá trị k₁, k₁+ 1, …, k₂. Khi đó, ta cần hiệu chỉnh mẫu dữ liệu ghép nhóm để đưa về dạng Bảng 3.2 trước khi thực hiện tính toán các số đặc trưng bằng cách hiệu chỉnh nhóm k₁ – k₂ với k₁, k₂ ∈ ℕ thành nhóm [k₁ – 0,5; k₂ + 0,5). Chẳng hạn, với dữ liệu ghép nhóm điểm thi môn Toán trong bảng 3.3 sau khi hiệu chỉnh ta được bảng 3.4.

Ý nghĩa: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng đại diện cho mẫu số liệu.

Ví dụ: Tính thời gian trung bình giải bài tập của học sinh lớp 11A được cho trong bảng sau:

Thời gian (phút)	[7,5; 10,5)	[10,5; 13,5)	[13,5; 16,5)	[16,5; 19,5)
Số học sinh	6	17	17	5

Hướng dẫn giải

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Thời gian (phút)	9	12	15	18
Số học sinh	6	17	17	5

Tổng số học sinh là n = 45. Thời gian trung bình giải bài toán của học sinh lớp 11 A là:

$\overline{x} = \frac{6.9 + 17.12 + 17.15 + 5.18}{45} = \frac{67}{5} = 13 , 4$ (phút)

II. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: [a_p; a_p+1).

Bước 2: Trung vị

trong đó n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p. Với p = 1, ta quy ước m₁ + ….+ m_p-1 = 0.

Ý nghĩa: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.

Ví dụ: Cho mẫu số liệu về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của một số học sinh như sau:

Thời gian	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)	[45; 50)
Số học sinh	7	12	5	7	3	5	1

Tính trung vị của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là n = 7 + 12 + 5 + 7 + 3 + 5 + 1 = 40.

Gọi x₁, x₂, ….., x₄₀ là thời gian đi từ nhà đến trường của 40 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là $\frac{x_{20} + x_{21}}{2}$ . Do hai giá trị x₂₀, x₂₁ thuộc nhóm [25; 30) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó p = 3; a₃ = 25, m₃ = 5; m₁ + m₂ = 7 + 12 = 19; a₄ – a₃ = 30 – 25 = 5

Khi đó

Vậy M_e = 26.

III. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Để tính tứ phân vị thứ nhất Q₁ vị của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q₁, giả sử đó là nhóm thứ p: [a_p; a_p+1). Khi đó,

trong đó, n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước m₁ + ….+ m_p-1 = 0.

Để tính tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q₃. Giả sử đó là nhóm thứ p: [a_p; a_p+1).

trong đó, n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước m₁ + ….+ m_p-1 = 0.

Tứ phân vị thứ hai Q₂ chính là trung vị M_e.

Nhận xét: Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r nhờ tính chất: có khoảng

giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.

Ý nghĩa: Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.

Ví dụ: Cho mẫu số liệu về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của một số học sinh như sau:

Thời gian	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)	[45; 50)
Số học sinh	7	12	5	7	3	5	1

Tìm tứ phân vị Q₁và Q₃của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là n = 7 + 12 + 5 + 7 + 3 + 5 + 1 = 40.

Gọi x₁, x₂, ….., x₄₀ là thời gian đi từ nhà đến trường của 40 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

- Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là trung vị của nửa dãy bên trái Q₂ nên $Q_{1} = \frac{x_{10} + x_{11}}{2}$ .

Do x₁₀ và x₁₁ đều thuộc nhóm [20; 25) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó, p = 2, a₂ = 20, m₂ = 12, m₁ = 7; a₃ – a₂ = 5.

Ta có $Q_{1} = a_{2} + \frac{\frac{n}{4}-m_{1}}{m_{2}} .$ (a₃-a₂) $= 20 + \frac{\frac{40}{4}-7}{12}.5 = 21 , 25$ .

- Tứ phân vị thứ ba Q₃ là trung vị của nửa dãy bên phải Q₂ nên $Q_{3} = \frac{x_{30} + x_{31}}{2}$ .

Do x₃₀ và x₃₁ đều thuộc nhóm [30; 35) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó, p = 4, a₄ = 30, m₄ = 7, m₁ + m₂ + m₃ = 7 + 12 + 5 = 24; a₅ – a₄ = 35 – 30 = 5.

Ta có

Vậy Q₁ = 21,25; Q₃ ≈ 34,29.

IV. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: [a_j; a_j+1).

Bước 2: Mốt được xác định là

trong đó m_j là tần số của nhóm j (quy ước m_o = m_k+1 = 0) và h là độ dài của nhóm.

Lưu ý:

- Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

- Khi tần số của các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu ghép nhóm không có mốt.

Ý nghĩa: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

Ví dụ: Cho mẫu số liệu về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của một số học sinh như sau:

Thời gian	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)	[45; 50)
Số học sinh	7	12	5	7	3	5	1

Tìm mốt của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

Tần số lớn nhất là 12 nên nhóm chứa mốt là nhóm [20; 25). Ta có j = 2, a₂ = 20, m₂ = 12, m₁ = 7, m₃ = 5, h = 25 – 20 = 5

Khi đó

Vậy M_o ≈ 22,08.

Bài tập Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài 1: Kết quả khảo sát cân nặng của 20 quả táo ở mỗi lô hàng A và B được cho bởi bảng sau:

Cân nặng (gam)	[150; 155)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)
Số quả táo lô hàng A	1	4	10	3	2
Số quả táo lô hàng B	2	3	12	2	1

a) Hãy ước lượng cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở hai lô hàng trên.

b) Nếu so sánh theo số trung bình thì táo ở lô hàng nào nặng hơn?

Hướng dẫn giải

Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Cân nặng (gam)	152,5	157,5	162,5	167,5	172,5
Số quả táo lô hàng A	1	4	10	3	2
Số quả táo lô hàng B	2	3	12	2	1

Tổng số quả táo của mỗi lô hàng A và B đều là n = 20.

Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng A là:

$\overline{x_{A}} = \frac{1.152 , 5 + 4.157 , 5 + 10.162 , 5 + 3.167 , 5 + 2.172 , 5}{20} = \frac{651}{4} = 162 , 75$ (gam)

Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng B là:

$\overline{x_{B}} = \frac{2.152 , 5 + 3.157 , 5 + 12.162 , 5 + 2.167 , 5 + 1.172 , 5}{20}$ = 161,75 (gam)

Theo số trung bình thì táo ở lô hàng A nặng hơn táo ở lô hàng B.

Bài 2: Cho mẫu số liệu về cân nặng (kg) của 45 học sinh lớp 11A được cho bởi bảng sau:

Cân nặng (kg)	[40; 45)	[45; 50)	[50; 55)	[55; 60)	[60; 65)
Số học sinh	7	10	20	6	2

Tính tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là n = 7 + 10 + 20 + 6 + 2 = 45

Gọi x₁, x₂, ….., x₄₅ là cân nặng của 45 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là x₂₃. Do giá trị x₂₃ thuộc nhóm [50; 55) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó p = 3; a₃ = 50, m₃ = 20; m₁ + m₂ = 7 + 10 = 17; a₄ – a₃ = 55 – 50 = 5

Khi đó

= 50 + \frac{\frac{45}{2}-17}{20}.5 ≈ 51 , 4

Vậy M_e = 51,4.

Từ M_e = 51,4, suy ra Q₂ = 51,4.

- Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là trung vị của nửa dãy bên trái Q₂ nên $Q_{1} = \frac{x_{11} + x_{12}}{2}$ .

Do x₁₁ và x₁₂ đều thuộc nhóm [45; 50) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó, p = 2, a₂ = 45, m₂ = 10, m₁ = 7; a₃ – a₂ = 5.

Ta có $Q_{1} = a_{2} + \frac{\frac{n}{4}-m_{1}}{m_{2}} .$ (a₃-a₂) $= 45 + \frac{\frac{45}{4}-7}{10}.5 ≈ 47 , 1$ .

- Tứ phân vị thứ ba Q₃ là trung vị của nửa dãy bên phải Q₂ nên $Q_{3} = \frac{x_{34} + x_{35}}{2}$ .

Do x₃₄ và x₃₅ đều thuộc nhóm [50; 55) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó, p = 3, a₃ = 50, m₃ = 20, m₁ + m₂ = 7 + 10 = 17; a₄ – a₃ = 55 – 50 = 5.

Ta có

Vậy tứ phân vị: Q₁ ≈ 47,1; Q₂ ≈ 51,4; Q₃ ≈ 54,2.

- Ta thấy tần số lớn nhất là 20 nên nhóm chứa mốt là nhóm [50; 55).

Ta có j = 3, a₃ = 50, m₃ = 20, m₂ = 10, m₄ = 6, h = 55 – 50 = 5

Khi đó

Vậy M_o ≈ 52,1.

V. Tổng hợp công thức các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Số đặc trưng	Công thức tính cho mẫu số liệu ghép nhóm
Số trung bình $\bar{x}$	$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^k m_i c_i}{n} \quad$ ( $c_i$ là giá trị đại diện nhóm thứ $i$ , $m_i$ là tần số)
Trung vị $M_e$	$M_e = a_p + \frac{\frac{n}{2} - C}{m_p}(a_{p+1} - a_p)$ ( $[a_p; a_{p+1})$ là nhóm chứa trung vị)
Mốt $M_o$	$M_o = a_m + \frac{m_m - m_{m-1}}{(m_m - m_{m-1}) + (m_m - m_{m+1})}(a_{m+1} - a_m)$

🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: $\bar{x} = \frac{m_1 c_1 + m_2 c_2 + \dots + m_k c_k}{n}$ , trong đó $c_i$ là giá trị đại diện và $m_i$ là tần số của nhóm thứ $i$ , $n$ là cỡ mẫu.
Trung vị $M_e$ : Nhóm chứa trung vị là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$ . Công thức: $M_e = a_p + \frac{\frac{n}{2} - C}{m_p}(a_{p+1} - a_p)$ , với $[a_p; a_{p+1})$ là nhóm chứa trung vị, $C$ là tần số tích luỹ của nhóm trước đó.
Tứ phân vị: Tứ phân vị thứ hai $Q_2 = M_e$ . Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ tính trên cỡ mẫu $\frac{n}{4}$ ; Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ tính trên cỡ mẫu $\frac{3n}{4}$ .
Mốt $M_o$ : Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất $m_p$ . Công thức: $M_o = a_p + \frac{m_p - m_{p-1}}{(m_p - m_{p-1}) + (m_p - m_{p+1})}(a_{p+1} - a_p)$ .

Câu hỏi ôn tập & củng cố bài học

Câu 1: Công thức tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm?

Về lý thuyết cốt lõi của bài học «Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm»: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm:

\bar{x} = \frac{m_1 c_1 + m_2 c_2 + \dots + m_k c_k}{n}

, trong đó

c_i

là giá trị đại diện và

m_i

là tần số của nhóm thứ

i

n

là cỡ mẫu.

Câu 2: Cách xác định nhóm chứa trung vị và công thức tính trung vị

M_e

Bản chất toán học và phương pháp phân tích: Trung vị

M_e

: Nhóm chứa trung vị là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng

\frac{n}{2}

. Công thức:

M_e = a_p + \frac{\frac{n}{2} - C}{m_p}(a_{p+1} - a_p)

, với

[a_p; a_{p+1})

là nhóm chứa trung vị,

C

là tần số tích luỹ của nhóm trước đó.

Câu 3: Nêu công thức tính mốt

M_o

của mẫu số liệu ghép nhóm?

Quy tắc vận dụng và lưu ý trọng tâm: Tứ phân vị: Tứ phân vị thứ hai

Q_2 = M_e

. Tứ phân vị thứ nhất

Q_1

tính trên cỡ mẫu

\frac{n}{4}

; Tứ phân vị thứ ba

Q_3

tính trên cỡ mẫu

\frac{3n}{4}

Câu 4: Bài tập vận dụng: Nêu ý nghĩa của việc so sánh số trung bình và trung vị trong việc đánh giá độ lệch của dữ liệu.

Hướng dẫn giải chi tiết: Vận dụng trực tiếp định nghĩa và các công thức nền tảng trong SGK Toán 11 Kết nối tri thức. Ta xác định các yếu tố giả thiết, biến đổi đại số / hình học chính xác và kết luận nghiệm cụ thể theo chuẩn KaTeX.

Đề luyện tập theo bài

Toán 11 KNTT: Chương 3 Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm: Đề 1 Nhận biết15 câu hỏi · Nhận biết

Làm đề

Toán 11 KNTT: Chương 3 Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm: Đề 2 Thông hiểu15 câu hỏi · Thông hiểu

Làm đề

Toán 11 KNTT: Chương 3 Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm: Đề 3 Vận dụng15 câu hỏi · Vận dụng

Làm đề

Toán 11 KNTT: Chương 3 Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm: Đề 4 Vận dụng cao15 câu hỏi · Vận dụng cao

Làm đề

Toán 11 KNTT: Chương 3 Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm: Đề 5 Tổng hợp15 câu hỏi · Tổng hợp

Làm đề