Lý thuyết Toán 11 Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Nếu d và (α) không có điểm chung thì ta nói d song song với (α) hay (α) song song với d và kí hiệu là d // (α) hay (α) // d.

Ngoài ra:

- Nếu d và (α) có một điểm chung duy nhất M thì ta nói d và (α) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu d ∩ (α) = {M} hay d ∩ (α) = M.

- Nếu d và (α) có nhiều hơn một điểm chung thì ta nói d nằm trong (α) hay (α) chứa d và kí hiệu d ⸦ (α) hay (α) ⸧ d.

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S.ABC. Trong các mặt phẳng chứa các mặt của hình chóp, hãy cho biết:

a) Đường thẳng SA cắt các mặt phẳng nào?

b) Đường thẳng SA nằm trong mặt phẳng nào?

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng SA cắt các mặt phẳng (SBC) và (ABC).

Vì SA ∩ (SBC) = {S}; SA ∩ (ABC) ={A}

b) Đường thẳng SA nằm trong mặt phẳng (SAB) và (SAC).

- Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì a song song với (P).

- Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Chú ý: Cho hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Hai đường thẳng SC và AB có chéo nhau không? Chứng minh rằng AB // (SCD).

Ta có: SC và AB chéo nhau.

Vì AB và SC chéo nhau nên AB không nằm trong (SCD).

Vì AB // CD (theo giả thiết) nên AB // (SCD).

Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 1: Cho hai tam giác MNP và MNQ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MQ.

a) Đường thẳng ME có song song với mặt phẳng (NPQ) không?

b) Đường thẳng EF có song song với mặt phẳng (NPQ) không?

Hướng dẫn giải

a) ME cắt (NPQ) tại N nên ME không song song với (NPQ).

b) Ta thấy: EF là đường trung bình của tam giác MNQ nên EF // NQ.

Ta có:

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của hai cạnh BC, CD. Chứng minh rằng BD // (APQ).

Hướng dẫn giải

Ta có: P, Q lần lượt là trung điểm của BC và CD nên PQ là đường trung bình của tam giác BCD. Suy ra PQ // BD.

Ta có:

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.

a) Chứng minh MN // (SBC), MN // (SAD).

b) Gọi P là trung điểm cạnh SA. Chứng minh SB và SC đều song song với (MNP).

Hướng dẫn giải

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD (hình bình hành cũng là hình thang).

Suy ra MN // BC và MN // AD.

Ta có:

b) Ta có : P là điểm chung của (MNP) và (SAD).

Mà MN // AD

Do đó giao tuyến của (MNP) và (SAD) là đường thẳng qua P song song với AD và MN và đường thẳng này cắt SD tại Q.

Suy ra: PQ = (MNP) ∩ (SAD)

Xét $∆$ SAD, ta có: PQ // AD

Mà P là trung điểm SA

Suy ra: Q là trung điểm SD.

Khi đó, QN là đường trung bình của $∆$ SCD.

Suy ra QN // SC.

Ta có :

Lại có M và P lần lượt là trung điểm của AB và SA nên MP là đường trung bình của tam giác SAB, suy ra MP // SB.

Ta có: