Lý thuyết Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Tính chất 1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Nhận xét. Nếu ba đường thẳng đôi một phân biệt a, b, c cùng đi qua một điểm O và cùng vuông góc với một đường thẳng ∆ thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với ∆.

Chú ý. Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B.

Tính chất 2. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

• Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì các đường thẳng song song với a cũng vuông góc với (P).

• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

• Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) thì ∆ cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với (P).

• Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

• Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) thì ∆ vuông góc với mọi đường thẳng song song với (P).

• Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng ∆ thì a nằm trong (P) hoặc song song với (P).

Ví dụ 2. Cho hình hộp  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ . Chứng minh rằng:

a)   $AA^{'} \perp (A^{'}B^{'}C^{'}D^{'})$

b)   $BB^{'} \perp ( ABCD )$

Hướng dẫn giải

Bài tập Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 1. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a)   $BC \perp ( OAH )$

b) H là trực tâm của tam giác ABC;

c)   $\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} + \frac{1}{OC^{2}}$

Hướng dẫn giải

c) Gọi K là giao điểm của AH và BC, ta có:  $OK \perp BC$ và  $OA \perp OK$ nên OK là đường cao của tam giác vuông OBC và OH là đường cao của tam giác vuông OAK.

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông OAK và OBC, ta có:

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác cân tại A và D. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng   $BC \perp AD$

b) Kẻ AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh rằng   $AH \perp ( BCD )$

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC cân tại A và I là trung điểm của BC nên  $AI \perp BC$ .(1)

Tam giác DCB cân tại D và I là trung điểm của BC nên  $DI \perp BC$ .(2)

Từ (1) và (2) suy ra  $BC \perp ( AID )$ , suy ra   $BC \perp AD$ .

Bài 3. Cho tứ diện ABCD có  $DA \perp ( ABC ) , ABC$  là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ  $AH \perp MD$  tại H.

a) Chứng minh rằng   $AH \perp ( BCD )$

b) Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng   $GK \perp ( ABC )$

Hướng dẫn giải

Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh rằng:

a)   $BB^{'} \perp (A^{'}B^{'}C^{'})$

b)   $B^{'}C^{'} \perp (ABB^{'}A^{'})$

Hướng dẫn giải

a) Vì $AA^{'} \perp ( ABC ) , \text{\,} AA^{'} \text{\,//\,} BB^{'}$ và $( ABC ) \text{//} ( A^{'}B^{'}C^{'} )$  nên $BB^{'} \perp ( A^{'}B^{'}C^{'} ) .$

b) Vì $BC \perp AB , \text{\,} BC \perp BB^{'}$  nên $BC \perp ( ABB^{'}A^{'} )$ .

Mà BC // B'C', suy ra $B^{'}C^{'} \perp ( ABB^{'}A^{'} ) .$