Lý thuyết Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm  $x \in ( a ; b )$ . Nếu hàm số  $y^{'} = f^{'} ( x )$  lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y" hoặc  f''(x)

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a)   $y = \sqrt{2}cos(4\pi t + \frac{\pi }{3})$

b)   $y = x^{2}e^{- x}$

Hướng dẫn giải

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Một chuyển động có phương trình s = f(t) thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động. Ta có:

  $a ( t ) = {f^{\prime}}^{'} ( t ) .$

Ví dụ 2. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình  $s ( t ) = - 2t^{2} + 15t + 3$ , trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có  $s^{'} ( t ) = - 2 \cdot 2t + 15 = - 4t + 15$ , suy ra   ${s^{\prime}}^{'} ( t ) = - 4$

Vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 lần lượt là:

  $v ( 2 ) = s^{'} ( 2 ) = - 4 \cdot 2 + 15 = 7 \text{\,(m/s)}$ và   $a ( 2 ) = {s^{\prime}}^{'} ( 2 ) = - 4 \text{\,\,(m/s}^{\text{2}} \text{)}$

Bài tập Đạo hàm cấp hai

Bài 1. Cho hàm số  $f ( x ) = x^{2} + 2x - 1$ .

a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm   $x_{0} = 0 , x_{0} = 1$

Hướng dẫn giải

a) Ta có  $f^{'} ( x ) = 2x + 2$  và   ${f^{\prime}}^{'} ( x ) = ( 2x + 2)^{'} = 2$

b) Vì  ${f^{\prime}}^{'} ( x ) = 2$  nên   ${f^{\prime}}^{'} ( 0 ) = {f^{\prime}}^{'} ( 1 ) = 2$

Bài 2. Cho hàm số $f ( x ) = ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})$ . Tính   ${f^{\prime}}^{'} ( 0 )$

Hướng dẫn giải

Thay x = 0 vào biểu thức  ${f^{\prime}}^{'} ( x )$ ta được   ${f^{\prime}}^{'} ( 0 ) = 0$

Bài 3. Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a)  $f ( x ) = \frac{1}{3x + 5}$

b)   $g ( x ) = 2^{x + 3x^{2}}$

Hướng dẫn giải

Bài 4. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình  $s = 100 + 2t - t^{2}$  trong đó thời gian t được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?

b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3 s.

Hướng dẫn giải

a)  $v ( t ) = s^{'} ( t ) = 2 - 2t$ . Ta có   $v ( t ) = 0 \Leftrightarrow 2 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Vận tốc của chất điểm bằng 0 khi t = 1 s.

b) Khi t = 3 s, ta có   $v ( 3 ) = 2 - 2 \cdot 3 = - 4 \text{\,\,(m/s)}$

Ta có  $a ( t ) = {s^{\prime}}^{'} ( t ) = ( 2 - 2t)^{'} = - 2$  nên $a ( 3 ) = - 2\text{\,\,(m/s}^{\text{2}} \text{)}$

Vậy khi t = 3 s thì vận tốc của vật là –4 m/s. Gia tốc của vật là –2 m/s².

Bài 5. Một chất điểm có phương trình chuyển động  $s ( t ) = 3sin(t + \frac{\pi }{3})$ , trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm   $t = \frac{\pi }{2} ( s )$

Hướng dẫn giải

Ta có    $s^{'} ( t ) = 3cos(t + \frac{\pi }{3}) ; \text{\,\,\,} {s^{\prime}}^{'} ( t ) = - 3sin(t + \frac{\pi }{3})$

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm  $t = \frac{\pi }{2}$  (s) là:

  ${s^{\prime}}^{'}(\frac{\pi }{2}) = - 3sin(\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{3}) = \frac{- 3}{2}\text{\,\,(cm/s}^{\text{2}} \text{)} .$