Lý thuyết Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương ∆ vuông góc với (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Chú ý

• Vì phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.

• Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng (P). Hình chiếu vuông góc

Định lí ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu vuông góc a' của a trên (P).

Lưu ý: Định lí ba đường vuông góc cho phép chuyển việc kiểm tra tính vuông góc giữa a và b (có thể chéo nhau) sang kiểm tra tính vuông góc giữa b và a' (cùng thuộc mặt phẳng (P)).

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, SA $\perp$ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông tâm O. Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (SAC).

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông tâm O nên $BO \perp AC$ (1).

Mà SA $\perp$ (ABCD)  $\Rightarrow$ SA $\perp$  BO (2).

Từ (1) và (2), suy ra BO $\perp$ (SAC) nên O là hình chiếu của B lên mặt phẳng (SAC).

Do đó SO là hình chiếu của đường thẳng SB trên mặt phẳng (SAC).

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90°.

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a' của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Chú ý. Nếu α là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) thì   $0 ^{\circ} \le \alpha \le 90 ^{\circ}$

Nhận xét. Cho điểm A có hình chiếu H trên mặt phẳng (P). Lấy điểm O thuộc mặt phẳng (P), O không trùng H. Khi đó góc giữa đường thẳng AO và mặt phẳng (P) bằng góc AOH (xem hình dưới).

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ tam giác  $ABC . A^{'}B^{'}C^{'}$ có đáy là tam giác ABC cân tại A, góc BAC bằng 120° và AB = 2a. Hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC, biết  $AA^{'} = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

Ta có: AH là hình chiếu của AA' trên mặt phẳng (ABC) và tam giác AA'H vuông tại H. Do đó, góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AA' và AH.

Xét tam giác ABH vuông tại H, có:   $\widehat{HAB} = \frac{1}{2}\widehat{BAC} = 60 ^{\circ} \text{,~suy~ra~} AH = a .$

Xét tam giác AA'H vuông tại H, có: $cos\widehat{HAA^{'}} = \frac{AH}{AA^{'}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{,}$ $suy ra \widehat{HAA^{'}} = 45 ^{\circ} \text{.~}$

Do đó  $(AA^{'} , AH) = 45 ^{\circ}$ , hay góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 45°.

Bài tập Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông có tâm O và SA = SB = SC = SD.

a) Xác định hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

b) Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh BD $\perp$  SA.

d) Tìm hình chiếu vuông góc của tam giác SOB trên mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn giải

Suy ra O là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

b) Ta có hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên (ABCD) là OA.

c) Ta có hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD) là OA, mặt khác ta có OA ⊥ BD.

Theo định lí ba đường vuông góc ta suy ra BD ⊥ SA.

d) Hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là điểm O.

Hình chiếu vuông góc của các điểm O và B trên (ABCD) lần lượt là điểm O và B.

Vậy hình chiếu vuông góc của tam giác SOB trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng OB.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có $SA \perp (ABC)$ , tam giác ABC vuông tại B, AC = 2a, BC = a,  $SB = 2a\sqrt{3}$ . Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SBC).

Hướng dẫn giải

Mà  $SB \perp AH$ (do cách dựng) nên  $AH \perp (SBC)$ , hay H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBC), suy ra góc giữa SA và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng SA và AH, đây chính là góc ASH hay góc ASB.

Tam giác ABC vuông ở B  $\Rightarrow AB = \sqrt{AC^{2} - BC^{2}} = a\sqrt{3}$

Tam giác SAB vuông ở A  $\Rightarrow sin\widehat{ASB} = \frac{AB}{SB} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{ASB} = 30 ^{\circ}$

Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng 30°.

Bài 3. Cho hình lập phương  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ . Tính góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng   $(BDD^{'}B^{'})$

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó ta có  $AO \perp BD$ (1)

Mặt khác ta lại có $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ là hình lập phương nên 

Khi đó, góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng  $(BDD^{'}B^{'})$ chính là góc giữa đường thẳng AB' và B'O.

Xét tam giác vuông AB'O có  $sin\widehat{AB^{'}O} = \frac{AO}{AB^{'}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \widehat{AB^{'}O} = 30 ^{\circ}$

Vậy góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng  $(BDD^{'}B^{'})$ bằng 30°.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,  $\widehat{BAD} = 120 ^{\circ} , SA \perp ( ABCD )$ và  $SA = \sqrt{3}a$ . Tính tang góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ADC cân tại D, có  $\widehat{D} = 60 ^{\circ}$  nên tam giác ADC đều.

Kẻ  $CI \perp AD$ tại I.

Ta có:  $CI \perp SA \Rightarrow CI \perp ( SAD )$ nên SI là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAD).

Do đó, góc giữa  đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc giữa hai đường thẳng SC và SI, chính là góc CSI.

Vậy tang góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) bằng   $\frac{\sqrt{39}}{13}$