Lý thuyết Toán 11 Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Phương trình mũ cơ bản có dạng  $a^{x} = b$  (với  $0 < a \ne 1)$ .

• Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất   $x = log_{a}b$ .

• Nếu b ≤ 0 thì phươg trình vô nghiệm.

Minh hoạ bằng đồ thị:

Chú ý. Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu  $0 < a \ne 1$  thì  $a^{u} = a^{v} \Leftrightarrow u = v$

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

$a ) 9^{x - 2} = 243^{x + 1} b ) 3^{x - 1} = 5$

Hướng dẫn giải

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là  x = - 3

b) Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế của phương trình  $3^{x - 1} = 5$ ta được $x - 1 = log_{3}5$ , hay $x = 1 + log_{3}5$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x = 1 + log_{3}5$

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng   $log_{a}x = b \text{\,\,\,} (0 < a \ne 1)$

Phương trình lôgarit cơ bản $log_{a}x = b$ có nghiệm duy nhất x = a^b

Minh hoạ bằng đồ thị:

Chú ý. Phương pháp giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu u, v > 0 và  $0 < a \ne 1$ thì   $log_{a}u = log_{a}v \Leftrightarrow u = v$

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện 3x – 5 > 0 và 2x + 1 > 0, tức là  $x > \frac{5}{3}$

Phương trình đã cho trở thành  $3x - 5 = 2x + 1$ , suy ra x = 6 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 6.

b) Điều kiện x + 1 > 0, tức là x > –1.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 7.

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng  a^x > b (hoặc  ) với a > 0, a ≠ 1.

Xét bất phương trình dạng a^x > b  :

• Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là  $\mathbb{R}$

• Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với $a^{x} > a^{log_{a}b}$

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là $x > log_{a}b$

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là $x < log_{a}b$

Chú ý:

a) Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì   $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u > v$

Nếu 0 < a < 1 thì   $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u < v$

Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau:

$a ) 3^{x} > \frac{1}{243} b ) (\frac{2}{3})^{3x - 7} \le \frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

a)   $3^{x} > \frac{1}{243} \Leftrightarrow 3^{x} > 3^{- 5} \Leftrightarrow x > - 5$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  $( - 5 ; + \infty )$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[2 ; + \infty )$

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng $log_{a}x > b$  (hoặc  $log_{a}x \ge b , log_{a}x < b , log_{a}x \le b)$ với  $a > 0 , a \ne 1$

• Xét bất phương trình dạng $log_{a}x > b$  :

- Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x > a^b

- Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là  0 < x < a^b

Chú ý

a) Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì  $log_{a}u > log_{a}v \Leftrightarrow u > v > 0$

Nếu 0 < a < 1 thì $log_{a}u > log_{a}v \Leftrightarrow 0 < u < v$

Ví dụ 4. Giải các bất phương trình sau:

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x > 1.

Vì cơ số 10 > 1 nên bất phương trình trở thành x – 1 < 10⁰, tức là x < 2.

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 < x < 2.

b) Điều kiện:  $x > \frac{1}{2}$

Vì cơ số  $0 < \frac{1}{5} < 1$  nên bất phương trình trở thành 2x – 1 ≤ x + 3, từ đó tìm được x ≤ 4.

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là  $\frac{1}{2} < x \le 4$ .

Bài tập Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài 1. Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là  $x = - \frac{4}{3}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là  $x = - \frac{12}{11}$

c) Điều kiện: x > 1.

Khi đó:

Giải phương trình trên ta được x = – 1 (không thỏa mãn) và x = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.

d)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –1.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là  $x = log_{4}\frac{2}{3}$

Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm x= -1, x= -7 . Chỉ có nghiệm x= -1 thoả mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= -1 .

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

Hướng dẫn giải

Bất phương trình đã cho có thể viết ở dạng:  $3^{x^{2} - x} \le 3^{2 - x}$ .

Vì cơ số 3 > 1 nên bất phương trình trở thành  $x^{2} - x \le 2 - x$ , hay  $x^{2} \le 2$ .

Giải bất phương trình này, ta được   $- \sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là   $[- \sqrt{2} ; \sqrt{2}]$ .

e)   $log_{0 , 5}(x - 3) + log_{0 , 5}(x - 2) \ge - 1$

Điều kiện: x > 3.

Khi đó, bất phương trình đã cho được viết lại thành   $log_{0 , 5}[(x - 3)(x - 2)] \ge log_{0 , 5}2$

Vì cơ số 0,5 < 1 nên bất phương trình trở thành (x – 3)(x – 2) ≤ 2, hay   $x^{2} - 5x + 4 \le 0$

Giải bất phương trình bậc hai này, ta được 1 ≤ x ≤ 4.

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình là 3 < x ≤ 4.

Bài 4. Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất là 6%/ năm. Để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì người đó phải gửi ít nhất bao nhiêu năm? Biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi.

Hướng dẫn giải

Gọi x là số năm người đó gửi tiền trong ngân hàng.

Số tiền cả gốc và lãi người đó có được sau x năm được tính bởi công thức:

  $S = 100 \cdot 1 , 06^{x}$

Để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì

Do kì hạn gửi là 12 tháng nên để rút được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì người đó phải gửi ít nhất 5 năm.