Lý thuyết Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì

  $P ( AB ) = P ( A ) \cdot P ( B ) .$

Công thức này gọi là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.

Chú ý. Với hai biến cố A và B, nếu  $P ( AB ) \ne P ( A ) P ( B )$ thì A và B không độc lập.

Ví dụ 1. Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng vào rổ của từng người tương ứng là  $\frac{1}{5}$ và   $\frac{2}{7}$ . Gọi A là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng vào rổ”. Tính xác suất của biến cố A.

Hướng dẫn giải

Gọi X là biến cố: “người thứ nhất ném vào rổ”  $\Rightarrow P(X) = \frac{1}{5} .$

Gọi Y là biến cố: “người thứ hai ném vào rổ”  $\Rightarrow P(Y) = \frac{2}{7} .$

Ta thấy biến cố X, Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

Ví dụ 2. Cho hai biến cố A và B, biết rằng  $P ( A ) = \frac{2}{5} , P ( B ) = \frac{1}{3} , P ( A \cup B ) = \frac{1}{2}$ . Hỏi hai biến cố A và B có độc lập hay không?

Hướng dẫn giải

Do đó,  $P ( AB ) \ne P ( A ) P ( B )$ . Vậy hai biến cố A và B không độc lập.

Ví dụ 3. Ông An đầu tư vào ba loại cổ phiếu I, II, III. Xác suất trong thời gian t các cổ phiếu này lần lượt tăng giá là 0,5; 0,6; 0,7. Biết rằng các cổ phiếu hoạt động độc lập. Tìm xác suất trong thời gian t để trong ba cổ phiếu này có ít nhất một cổ phiếu tăng giá.

Hướng dẫn giải

Xác suất trong thời gian t cổ phiếu I không tăng giá là 1 – 0,5 = 0,5.

Xác suất trong thời gian t cổ phiếu II không tăng giá là 1 – 0,6 = 0,4.

Xác suất trong thời gian t cổ phiếu III không tăng giá là 1 – 0,7 = 0,3.

Gọi biến cố A: “Cổ phiếu I không tăng giá”.

Biến cố B: “Cổ phiếu II không tăng giá”.

Biến cố C: “Cổ phiếu III không tăng giá”.

Biến cố D:  “Ít nhất một cổ phiếu tăng giá”.

Biến cố  $\overline{D}$ : “Tất cả ba cổ phiếu đều không tăng giá”.

Ta có  $\overline{D} = ABC$  và các biến cố A, B, C độc lập.

Bài tập Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Bài 1. Cho A và B là hai biến cố độc lập.

a) Biết P(A) = 0,3 và P(B) = 0,7. Hãy tính xác suất của các biến cố $AB , \overline{A}B$ và  $\overline{A}\overline{B}$

b) Biết P(A) = 0,8 và P(AB) = 0,4. Hãy tính xác suất của các biến cố  $B , \overline{A}B$ và $\overline{A}\overline{B}$

Hướng dẫn giải

a) Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố AB là

Vì  $\overline{A}$  là biến cố đối của A nên  $P ( \overline{A} ) = 1 - P ( A ) = 0 , 7$

Do $\overline{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}B$  là 

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của B nên   $P ( \overline{B} ) = 1 - P ( B ) = 0 , 3$

Do $\overline{A}$  và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố   $\overline{A}\overline{B}$  là

b) Do A và B là hai biến cố độc lập nên  $P ( B ) = \frac{P ( AB )}{P ( A )} = \frac{0 , 4}{0 , 8} = 0 , 5.$

Vì $\overline{A}$  là biến cố đối của A nên   $P ( \overline{A} ) = 1 - P ( A ) = 0 , 2$

Do $\overline{A}$  và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố  $\overline{A}B$  là

Vì $\overline{B}$  là biến cố đối của B nên  $P ( \overline{B} ) = 1 - P ( B ) = 0 , 5$

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\overline{B}$  là

Bài 2. Gieo ba xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện trên mặt của ba xúc xắc khác nhau”.

B: “Có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Chứng minh rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Hướng dẫn giải

Ta cần chứng minh  $P ( AB ) \ne P ( A ) P ( B )$

Mỗi bộ (a, b, c) là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Ta có  $n ( A ) = A_{6}^{3} = 120$

Vậy   $P ( A ) = \frac{120}{216}$

+ Tính P(B):

Xét biến cố đối  $\overline{B}$ : “Số chấm xuất hiện trên mỗi xúc xắc đều khác 6”. Mỗi kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$  là một bộ ba số (a, b, c) trong đó  $1 \le a , b , c \le 6$

Do đó theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$  là 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.

Vậy $P ( \overline{B} ) = \frac{125}{216}$   $P ( B ) = 1 - P ( \overline{B} ) = \frac{91}{216}$

+ Tính P(AB):

Mỗi kết quả thuận lợi cho AB là một bộ ba số (a, b, c) trong đó $1 \le a , b , c \le 6$  và a, b, c là các số nguyên dương khác nhau và có đúng một số bằng 6. Có 3 cách chọn một số bằng 6 và  $A_{5}^{2} = 20$  cách chọn hai số còn lại trong 5 số {1; 2; 3; 4; 5}. Theo quy tắc nhân, ta có 3 ∙ 20 = 60 kết quả thuận lợi.

Do đó  

Vậy hai biến cố A, B không độc lập.

Bài 3. Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Tính xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn.

Hướng dẫn giải

Goi A là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt”.

B là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt”.

Ta có  $\overline{A}$  là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt”.

$\overline{B}$  là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt”.

  $\overline{C}$ là biến cố: “Công ty hoàn thành không đúng hạn”.

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và $\overline{B}$  là hai biến cố độc lập.

Bài 4. Một xạ thủ bắn lần lượt hai viên đạn vào bia. Xác suất bắn không trúng đích của viên thứ nhất và viên thứ hai lần lượt là 0,2 và 0,3. Biết rằng kết quả các lần bắn độc lập với nhau. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.

b) “Cả hai lần bắn đều trúng đích”.

c) “Lần bắn thứ nhất không trúng đích, lần bắn thứ hai trúng đích”.

d) “Có ít nhất một lần bắn trúng đích”.

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A_i: “ Lần bắn thứ i không trúng đích” với i ∈ {1; 2}.

Biến cố $\overline{A}$ : “Lần bắn thứ i trúng đích” với i ∈ {1; 2}.

a) Gọi biến cố A: “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.

Ta có  $A = A_{1}A_{2}$  và  $A_{1} ; \text{\,\,} A_{2}$ là hai biến cố độc lập.

b) Gọi biến cố B: “Cả hai lần bắn đều trúng đích”.

Ta có  $B = \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}$ và  $\overline{A_{1}} ; \text{\,\,} \overline{A_{2}}$ là hai biến cố độc lập.   

c) Gọi biến cố C: “Lần bắn thứ nhất không trúng đích, lần bắn thứ hai trúng đích ”.

Ta có  $C = A_{1}\overline{A_{2}}$ và $A_{1} ; \text{\,\,} \overline{A_{2}}$ là hai biến cố độc lập.  

$\Rightarrow P(C) = P(A_{1}) \cdot P(\overline{A_{2}}) = 0 , 2 \cdot 0 , 7 = 0 , 14.$

d) Gọi biến cố D: “Có ít nhất một lần bắn trúng đích”.

          biến cố $\overline{D}$ : “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.