Lý thuyết Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

• Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy các đường thẳng a, b tương ứng vuông góc với (P), (Q). Khi đó, góc giữa a và b không phụ thuộc vào vị trí của a, b và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

• Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

Chú ý. Nếu φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì   $0 ^{\circ} \le \varphi \le 90 ^{\circ}$

Nhận xét. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Lấy hai đường thẳng m, n tương ứng thuộc (P), (Q) và cùng vuông góc với ∆ tại một điểm O (nói cách khác, lấy một mặt phẳng vuông góc với ∆, cắt (P), (Q) tương ứng theo các giao tuyến m, n). Khi đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n. Đặc biệt, (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi m vuông góc với n.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Hướng dẫn giải

Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có S là điểm chung và AB // CD nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua S và song song với AB, CD. Gọi giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là d, ta có S ∈ d và d // AB, d // CD.

Ta có SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB, từ đó suy ra SA ⊥ d.

Ta có CD ⊥ AD (do ABCD là hình vuông) và CD ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD)). Do đó đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng (SAD). Suy ra CD ⊥ SD. Mà d // CD.

Suy ra SD ⊥ d.  

Lại có SA ⊂ (SAB) và SD ⊂ (SCD). Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) chính là góc giữa hai đường thẳng SA và SD.

Tam giác SAD vuông cân tại S nên $\widehat{ASD} = 45 ^{\circ} .$   Suy ra (SA, SD) = 45°.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng 45°.

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh  $(SAC) \perp (SAB) .$

Hướng dẫn giải

Ta có

•  $AC \perp AB$ (do tam giác ABC vuông tại A). (1) 

•  $AC \perp SA$   (do SA vuông góc với mặt phẳng đáy). (2)

Từ (1) và (2), suy ra  $AC \perp (SAB) \Rightarrow (SAC) \perp (SAB) .$

Với hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Nhận xét. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mỗi đường thẳng qua điểm O thuộc (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Hình gồm hai nửa mặt phẳng (P), (Q) có chung bờ a được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu là [P, a, Q]. Đường thẳng a và các nửa mặt phẳng (P), (Q) tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó.

Mỗi đường thẳng a trong một mặt phẳng chia mặt phẳng thành hai phần, mỗi phần cùng với a là một nửa mặt phẳng bờ a.

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q] (gọi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc xOy không phụ thuộc vào vị trí của O trên a, được gọi là số đo của góc nhị diện [P, a, Q].

Mặt phẳng chứa góc phẳng nhị diện xOy của [P, a, Q] vuông góc với cạnh a.

Chú ý

• Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0° đến 180°. Góc nhị diện được gọi là vuông, nhọn, tù nếu nó có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn 90°.

• Đối với hai điểm M, N không thuộc đường thẳng a, ta kí hiệu [M, a, N] là góc nhị diện có cạnh a và các mặt tương ứng chứa M, N.

• Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện còn lại cũng là góc nhị diện vuông.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA ⊥ (ABCD) và  $SA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Tính số đo của góc nhị diện [S, BD, C].

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó CO ⊥ BD. (1)

Ta có BD ⊥ AC và BD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) nên BD ⊥ (SAC), suy ra BD ⊥ SO. (2)

Từ (1) và (2), suy ra góc phẳng nhị diện [S, BD, C] bằng góc SOC.

Xét tam giác SAO, có  $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2} = SA$  và góc SAO là góc vuông nên tam giác SAO là tam giác vuông cân tại A, suy ra  $\widehat{SOA} = 45 ^{\circ}$ ; do đó  $\widehat{SOC} = 135 ^{\circ}$

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BD, C] bằng 135°.

5.1. Hình lăng trụ đứng

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.

5.2. Hình lăng trụ đều

Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Hình lăng trụ đều có các mặt bên là các hình chữ nhật có cùng kích thước.

5.3. Hình hộp đứng

Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng, có đáy là hình bình hành.

Hình hộp đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.

5.4. Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật có các mặt bên là hình chữ nhật. Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có độ dài bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

5.5. Hình lập phương

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

Hình lập phương có các mặt là các hình vuông.

Chú ý. Khi đáy của hình lăng trụ đứng (đều) là tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... đôi khi ta cũng tương ứng gọi rõ là hình lăng trụ đứng (đều) tam giác, tứ giác, ngũ giác, ...

• Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Chú ý. Tương tự như đối với hình chóp, khi đáy của hình chóp đều là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, ... đôi khi ta cũng gọi rõ chúng tương ứng là hình chóp tam giác đều, tứ giác đều, ngũ giác đều, ...

Một hình chóp là đều khi và chỉ khi đáy của nó là một hình đa giác đều và hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng đáy là tâm của mặt đáy.

• Hình chóp cụt đều

Cho hình chóp đều $S . A_{4}A_{2} \dots A_{n}$ . Một mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh  $SA_{1} , SA_{2} , \dots , SA_{n}$ , tương ứng tại  $B_{1} , B_{2} , \dots , B_{n}$ .

Hình gồm các đa giác đều  $A_{1}A_{2} \dots A_{n} , B_{1}B_{2} \dots B_{n}$ và các hình thang cân  $A_{1}A_{2}B_{2}B_{1}$ , $A_{2}A_{3}B_{3}B_{2} , \dots , A_{n}A_{1}B_{1}B_{n}$ được tạo thành như trên được gọi là một hình chóp cụt đều (nói đơn giản là hình chóp cụt đều được tạo thành từ hình chóp đều $S . A_{4}A_{2} \dots A_{n}$ sau khi cắt đi hình chóp đều   $S . B_{1}B_{2} \dots B_{n})$ , kí hiệu là   $A_{1}A_{2} \dots A_{n} . B_{1}B_{2} \dots B_{n}$ .

- Các đa giác đều  $A_{1}A_{2} \dots A_{n} , B_{1}B_{2} \dots B_{n}$ được gọi là hai mặt đáy, các hình thang $A_{1}A_{2}B_{2}B_{1}$ , $A_{2}A_{3}B_{3}B_{2} , \dots , A_{n}A_{1}B_{1}B_{n}$ được gọi là các mặt bên của hình chóp cụt đều. Các đoạn thẳng   $A_{1}B_{1} , A_{2}B_{2} , \dots , A_{n}B_{n}$  được gọi là các cạnh bên; các cạnh của mặt đáy được gọi là các cạnh đáy của hình chóp cụt đều.

- Đoạn thẳng HK nối hai tâm của đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều. Độ dài của đường cao được gọi là chiều cao của hình chóp cụt đều.

Bài tập Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60°. Kẻ OH vuông góc với SC tại H. Biết  $SA \perp ( ABCD )$ và  $SA = \frac{a\sqrt{6}}{2}$ . Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải

Vì mặt phẳng (SBD) chứa BD nên   $( SBD ) \perp ( SAC )$

b) Ta có  $BD \perp ( SAC )$ nên   $BD \perp SC$ mà  $SC \perp OH$ , do đó $SC \perp ( BDH )$

Vì mặt phẳng (SBC) chứa SC nên   $( SBC ) \perp ( BDH )$

Do đó, tam giác BDH vuông tại H, suy ra  $\widehat{BHD} = 90 ^{\circ}$

 c) 

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A và AB = a, biết  $SA \perp ( ABC ) , SA = \frac{a\sqrt{6}}{2}$ . Tính góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (SBC).

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của cạnh BC, ta có:  $AM \perp BC ; SM \perp BC$  nên góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AM và SM.

Ta có $SA \perp ( ABC )$  nên $SA \perp AM$ . Xét tam giác SAM vuông tại A, có:

$AM = \frac{1}{2}BC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ , suy ra  $tan\widehat{AMS} = \frac{SA}{AM} = \sqrt{3}$ , hay  $\widehat{SMA} = 60 ^{\circ}$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 60°.

Bài 3. Cho hình lập phương $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$  có cạnh bằng a.

a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD).

b) Tính côsin của số đo góc nhị diện [A', BD, C'].

Hướng dẫn giải

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có:  $AO \perp BD , A^{'}O \perp BD$  nên góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AO và A'O.

Mà  $(AO , A^{'}O) = \widehat{AOA^{'}}$  nên góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD) bằng  $\widehat{AOA^{'}}$ .

Ta có  $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2} , OA^{'} = \sqrt{OA^{2} + A{A^{\prime}}^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Suy ra  $cos\widehat{AOA^{'}} = \frac{AO}{A^{'}O} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

b) Vì  $A^{'}O \perp BD , C^{'}O \perp BD$ nên góc nhị diện [A', BD, C'] bằng   $\widehat{A^{'}OC^{'}}$

Bài 4. Cho hình chóp cụt tứ giác đều  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$  có đáy lớn ABCD có cạnh bằng 2a, đáy nhỏ  $A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$  có cạnh bằng a và cạnh bên 2a. Tính đường cao của hình chóp cụt và đường cao của mặt bên.

Hướng dẫn giải

Gọi O và O' lần lượt là tâm của hai đáy và H là hình chiếu của C' trên AC.

Trong hình thang vuông  $OO^{'}C^{'}C$ , vẽ đường cao $C^{'}H$ $( H \in OC )$  

Ta có: $OC = a\sqrt{2} , O^{'}C^{'} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ , suy ra $CH = a\sqrt{2} - \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Trong tam giác vuông C'CH, ta có:

Trong hình thang $BB^{'}C^{'}C$ , vẽ đường cao $C^{'}K \text{\,\,} ( K \in BC )$ .

Ta có $CK = \frac{BC - B^{'}C^{'}}{2} = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}$

Trong tam giác vuông $C^{'}CK$ , ta có:  $C^{'}K = \sqrt{C{C^{\prime}}^{2} - CK^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - (\frac{a}{2})^{2}} = \frac{a\sqrt{15}}{2} .$