Lý thuyết Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Cấp số nhân (u_n) với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi: u_n = u_n–1 . q với n ≥ 2.

Chú ý: Dãy số không đổi a, a, a, .... là một cấp số nhân với số hạng đầu là a và công bội q = 1.

Ví dụ: Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = 2. Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số nhân này.

Hướng dẫn giải

Năm số hạng đầu của cấp số nhân này là:

u₁ = 3

u₂ = u₁ . q = 3 . 2 = 6

u₃ = u₂ . q = 6 . 2 = 12

u₄ = u₃ . q = 12 . 2 = 24

u₅ = u₄ . q = 24 . 2 = 48.

Ví dụ: Cho dãy số (u_n) với u_n = 2.3ⁿ. Chứng minh rằng (u_n) là một cấp số nhân. Tìm số hạng đầu u₁ và công bội q của nó.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{u_{n}}{u_{n-1}} \text{} = \text{} \frac{2 \text{} \cdot \text{} 3^{n}}{2 \text{} \cdot \text{} 3^{n-1}} \text{}$ = 3, với mọi n ≥ 2, tức là u_n = 3u_n–1

Do đó (u_n) là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 . 3¹ = 6 và công bội q = 3.

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u_1­ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n­ của nó được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ . q^n–1 với n ≥ 2.

Ví dụ: Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 50 của cấp số nhân: 9, –3, ….

Hướng dẫn giải

Cấp số nhân này có số hạng đầu u­₁ = 9 và công bội q = –3.

Do đó năm số hạng đầu là: 9, –3, 1, $\frac{-1}{3} , \text{} \frac{1}{9}$ .

Số hạng thứ 50 là u₅₀ = u₁ . (–3)^50–1 = 9 . (–3)⁴⁹ = (– 3)⁵¹.

Ví dụ: Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 640 và số hạng thứ 10 bằng 2560 . Tìm số hạng thứ 15 của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải

Giả sử u₁ là số hạng đầu và q là công bội của cấp số nhân đó. Ta có:

u₈ = u₁ . q⁷ = 640 (1)

u₁₀ = u₁ . q⁹ = 2560 (2)

Lấy (2) chia vế theo vế cho (1), từ đó suy ra: q² = 4, tức là q = 2 hoặc q = –2

Với q = 2, ta tính được u^­₁ = 5

Với q = –2, ta tính được u^­₁ = – 5 (loại vì u₁ > 0 theo giả thiết)

Vậy số hạng thứ 15 của cấp số nhân đã cho là: u₁₅ = u₁ . q¹⁴ = 5 . 2¹⁴ = 81920.

Cho cấp số nhân (u_n) với công sai q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + …. + u_n. Khi đó:

Ví dụ: Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân 2, 4, 8, …. để được kết quả bằng 510?

Hướng dẫn giải

Cấp số nhân này có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 2. Gọi n là các số hạng đầu cần lấy. Ta có:

510 = S_n = u₁ + u₂ + …. + u_n =

Từ đây ta được 2ⁿ⁺¹ = 512 = 2⁹. Suy ra n = 8.

Vậy phải lấy 8 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho để được tổng bằng 510.

Bài tập Cấp số nhân

Bài 1: Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:

a) 1, 3, 9, ...;

b) 3, $\frac{-1}{3} , \text{} \frac{1}{27}$ , ….

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy: 3 : 1 = 3, 9 : 3 = 3

Suy ra công bội q = 3

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = 3^n–1.

Số hạng thứ 5: u₅ = 3^5–1 = 81.

Số hạng thứ 100: u₁₀₀ = 3^100–1 = 3⁹⁹.

b) Ta thấy:

Suy ra cấp số nhân có công bội q = $\frac{- 1}{9}$ .

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = 3.

Số hạng thứ 5: u₅ = 3.

Số hạng thứ 100: u₁₀₀ =3.

Bài 2: Viết năm số hạng đầu của dãy số (u_n) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n = u₁ . q^n–1.

a) u_n = 4n;

b) u_n = 3ⁿ;

c) u₁ = 2, u_n = nu_n–1.

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy là: 4, 8, 12, 16, 20

Ta có: 8 : 4 = 2 ≠ 12 : 8 = $\frac{3}{2}$ nên (u_n) không phải là cấp số nhân.

b) Năm số hạng đầu của dãy là: 3; 9; 27; 81; 243

Ta có: $\frac{u_{n}}{u_{n-1}} \text{} = \text{} \frac{\text{} 3^{n}}{3^{n-1}} \text{} = \text{} 3$ với mọi n ≥ 2

Suy ra dãy số là cấp số nhân với u₁ = 3 và công bội q = 3.

Số hạng tổng quát: u_n = 3 . 3^n–1.

c) Năm số hạng đầu của dãy là: 2; 4; 12; 48; 240

Ta có: 4 : 2 = 2 ≠ 12 : 4 = 3 nên (u_n) không phải là cấp số nhân.

Bài 3: Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 10 240 và số hạng thứ 3 bằng 160. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.

Hướng dẫn giải

Giả sử u₁ là số hạng đầu và q là công bội của cấp số nhân đó. Ta có:

u₆ = u₁ . q⁵ = 10 240 (1)

u₃ = u₁ . q² = 160 (2)

Lấy (1) chia vế theo vế (2) ta được: q³ = 64. Suy ra q = 4.

Với q = 4, ta tính được u^­₁ = 10.

Suy ra công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = 10 . 4^n–1

Vậy số hạng thứ 50 của cấp số nhân này là u₅₀ = 10 . 4^50–1 = 10 . 4⁴⁹.

Bài 4: Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 4 và công bội bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 131 068?

Hướng dẫn giải

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = 4 . 2^n–1.

Gọi n là số các số hạng cần lấy tổng, ta có

131 068 = S_n =

Suy ra: 2ⁿ = 32768 = 2¹⁵, do đó n = 15.

Vậy ta phải lấy 15 số hạng đầu của cấp số nhân.