Lý thuyết Toán 11 Bài 19: Lôgarit

Cho a là một số thực dương khác 1 và M là một số thực dương. Số thực  $\alpha$ để $a^{\alpha } = M$ được gọi là lôgarit cơ số a của M và kí hiệu là $a^{\alpha } = M$ .

$\alpha = log_{a}M \Leftrightarrow a^{\alpha } = M .$

Chú ý. Không có lôgarit của số âm và số 0. Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1.

Từ định nghĩa lôgarit, ta có các tính chất sau:

Với  $0 < a \ne 1 , M > 0$ và $\alpha$  là số thực tuỳ ý, ta có:

Ví dụ 1. Tính:  $a ) log_{2}\frac{1}{16} b ) log_{5}\sqrt[4]{5}$

Hướng dẫn giải

a)  $log_{2}\frac{1}{16} = log_{2}2^{- 4} = - 4.$

b)  $log_{5}\sqrt[4]{5} = log_{5}5^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}$

2.1. Quy tắc tính lôgarit 

Giả sử a là số thực dương khác 1, M và N là các số thực dương, $\alpha$ là số thực tuỳ ý.

Khi đó:

Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

2.2. Đổi cơ số của lôgarit 

Với các cơ số lôgarit a và b bất kì  $( 0 < a \ne 1 , 0 < b \ne 1 )$ và M là số thực dương tuỳ ý, ta luôn có:

  $log_{a}M = \frac{log_{b}M}{log_{b}a}$

Ví dụ 3. Tính:  $a ) log_{8}16 b ) log_{27}25 \cdot log_{5}81$

Hướng dẫn giải

3.1. Lôgarit thập phân

Trong thực hành, ta hay dùng hệ đếm thập phân (hệ đếm cơ số 10); lôgarit cơ số 10 đóng vai trò quan trọng trong tính toán.

Lôgarit cơ số 10 của một số dương M gọi là lôgarit thập phân của M, kí hiệu là logM hoặc lgM (đọc là lốc của M).

3.2. Số e và lôgarit tự nhiên

Bài toán lãi kép liên tục và số e

Ta đã biết: Nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là P theo thể thức lãi kép với lãi suất hằng năm không đổi là r và chia mỗi năm thành m kì tính lãi thì sau t năm (tức là sau tm kì) số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là  $A_{m} = P(1 + \frac{r}{m})^{tm}$

Nếu kì tính lãi được chia càng ngày càng nhỏ, tức là tính lãi hằng ngày, hằng giờ, hằng phút, hằng giây, … thì dẫn đến việc tính giới hạn của dãy số A_m khi  $m \to + \infty$ . Ta có:

Để tính giới hạn  $limm \to + \infty A_{m}$ , ta cần xét giới hạn   $limm \to + \infty (1 + \frac{1}{\frac{m}{r}})^{\frac{m}{r}}$

Một cách tổng quát, ta xét giới hạn $limx \to \infty (1 + \frac{1}{x})^{x}$

Người ta chứng minh được giới hạn trên tồn tại, nó là một số vô tỉ có giá trị bằng 2,718281828… và kí hiệu là e. Vậy  $e = limx \to + \infty (1 + \frac{1}{x})^{x} \approx 2 , 7183$

Từ các kết quả trên suy ra   $limm \to + \infty A_{m} = Pe^{tr}$

Thể thức tính lãi khi  $m \to + \infty$  theo cách trên gọi là thể thức lãi kép liên tục.

Như vậy, với số vốn ban đầu là P, theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất hằng năm không đổi là r thì sau t năm, số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sẽ là  A=Pe^tr . Công thức trên gọi là công thức lãi kép liên tục.

Lôgarit tự nhiên

Ta có định nghĩa sau:

Lôgarit cơ số e của một số dương M gọi là lôgarit tự nhiên của M, kí hiệu là lnM (đọc là lôgarit Nêpe của M).

3.3. Tính lôgarit bằng máy tính cầm tay

Có thể dùng máy tính cầm tay để tính lôgarit của một số dương.

Bài tập Lôgarit

Bài 1. Tính: 

Hướng dẫn giải

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 4.

a) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn  $log_{3}a = x , log_{3}b = y$ . Tính   $P = log_{3}(3a^{4}b^{5})$

b) Đặt  $a = log_{2}3 ; \text{\,\,} b = log_{3}5$ . Biểu diễn $log_{20}12$  theo a và b.

Hướng dẫn giải

Bài 5. Để tính độ tuổi của mẫu vật bằng gỗ, người ta đo độ phóng xạ của  $C614$  có trong mẫu vật tại thời điểm t (năm) (so với thời điểm ban đầu t = 0), sau đó sử dụng công thức tính độ phóng xạ  $H = H_{0}e^{- \lambda t}$ (đơn vị là Becquerel, kí hiệu Bq) với H₀ là độ phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0);  $\lambda = \frac{ln2}{T}$ là hằng số phóng xạ, T = 5730 (năm) (Nguồn: Vật lí 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2014). Khảo sát một mẫu gỗ cổ, các nhà khoa học đo được độ phóng xạ là 0,215 Bq. Biết độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại là 0,250 Bq. Xác định độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

Gọi t là độ tuổi của mẫu gỗ cổ.