Lý thuyết Toán 11 Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc

Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu (m, n), là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.

Chú ý

• Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta có thể lấy một điểm O thuộc đường thẳng a và qua đó kẻ đường thẳng b' song song với b.

Khi đó (a, b) = (a, b').

• Với hai đường thẳng a, b bất kì:  $0 ^{\circ} \le ( a , b ) \le 90 ^{\circ}$

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ  $ABC . A^{'}B^{'}C^{'}$ có tam giác ABC cân tại A và $\widehat{BAC} = 120 ^{\circ}$ . Các điểm M, N lần lượt thuộc hai đoạn thẳng AA' và BB' thoả mãn MN // AB, các điểm P, Q lần lượt thuộc hai đoạn thẳng AA' và CC' (P khác M) thoả mãn PQ // AC. Tính các góc sau:

a) (AB, AC);

b) (AB, B'C');

c) (MN, PQ).

Hướng dẫn giải

a) Trong mặt phẳng (ABC), vì  $\widehat{BAC} = 120 ^{\circ}$  nên   $( AB , AC ) = 180 ^{\circ} - 120 ^{\circ} = 60 ^{\circ}$

b) Vì tam giác ABC cân tại A nên

$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \frac{180 ^{\circ} - \widehat{BAC}}{2} = \frac{180 ^{\circ} - 120 ^{\circ}}{2} = 30 ^{\circ}$

Ta có BC // B'C' nên  $(AB , B^{'}C^{'}) = (AB , BC) = \widehat{ABC} = 30 ^{\circ}$

c) Vì MN // AB, PQ // AC nên  $(MN , PQ) = (AB , AC) = 60 ^{\circ}$

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu  $a \perp b$ , nếu góc giữa chúng bằng 90°.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SD. Chứng minh rằng  $MN \perp SC$

Hướng dẫn giải

$\Delta SAD$ có M, N lần lượt là trung điểm của AD, SD, suy ra MN là đường trung bình của $\Delta SAD$ , suy ra MN // SA.

Khi đó, (MN, SC) = (SA, SC).

Chú ý. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, thì a cũng sẽ vuông góc với mọi đường thẳng song song với b. 

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và tam giác SAC vuông tại S. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Chứng minh rằng đường thẳng OM vuông góc với đường thẳng SB.

Hướng dẫn giải

Ta có tam giác SAC vuông tại S và O là trung điểm của AC nên  $SO = \frac{1}{2}AC$ . Ta lại có ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD, suy ra  $SO = \frac{1}{2}BD$ , mà O là trung điểm của BD nên tam giác SBD vuông tại S hay  $SD \perp SB$ . Vì OM // SD (OM là đường trung bình của tam giác SBD) và  $SD \perp SB$ nên   $OM \perp SB$

Bài tập Hai đường thẳng vuông góc

Bài 1. Cho hình hộp  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$  có 6 mặt là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AA' và A'B'. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng MN và BD.

Hướng dẫn giải

Gọi P là trung điểm cạnh A'D'.

Vì hình hộp  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ có 6 mặt là hình vuông cạnh bằng a  nên  $ABCD . A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ là hình lập phương cạnh a, từ đó suy ra   $AB^{'} = B^{'}D^{'} = D^{'}A = a\sqrt{2}$

Ta có MN, NP, PM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác AA'B', A'B'D', AA'D'. Suy ra  $MN = NP = PM = \frac{AB^{'}}{2} = \frac{B^{'}D^{'}}{2} = \frac{D^{'}A}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ và MN // AB', NP // B'D', PM // AD'.  Khi đó, tam giác MNP là tam giác đều.

Ta có BD // B'D' và NP // B'D' nên NP // BD.

Suy ra   $( MN , BD ) = ( MN , NP ) = \widehat{MNP} = 60 ^{\circ}$

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AB. Tính góc giữa đường thẳng MN và BD; góc giữa đường thẳng KN và MD.

Hướng dẫn giải

Vì MN // AB nên góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng góc giữa hai đường thẳng AB và BD, mà tam giác ABD là tam giác đều nên góc giữa hai đường thẳng AB và BD bằng 60^o

Do đó   $( MN , BD ) = ( AB , BD ) = 60 ^{\circ}$

Vì NK // AC nên góc giữa hai đường thẳng NK và MD bằng góc giữa hai đường thẳng AC và MD, mà tam giác ACD là tam giác đều, lại có M là trung điểm của AC nên MD là đường cao của tam giác ACD, do đó góc giữa hai đường thẳng AC và MD bằng 90°.

Do đó   $( NK , MD ) = ( AC , MD ) = 90 ^{\circ}$

Bài 3. Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Biết  $MN = a\sqrt{3} ; AB = 2\sqrt{2}a$ và CD = 2a. Chứng minh rằng đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD.

Hướng dẫn giải

Lấy K là trung điểm của cạnh BC, ta có: NK và MK lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD và tam giác ABC nên NK = a và   $MK = a\sqrt{2}$

Do đó,  $MN^{2} = 3a^{2} = MK^{2} + NK^{2}$ suy ra tam giác MNK vuông tại K, hay $MK \perp NK$ mà MK // AB và NK // CD nên  $( AB , CD ) = ( MK , NK ) = 90 ^{\circ}$ , hay   $AB \perp CD$

Bài 4. Cho hình lăng trụ  $MNPQ . M^{'}N^{'}P^{'}Q^{'}$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng   $M^{'}N \perp P^{'}Q$

Hướng dẫn giải

Vì  $PQQ^{'}P^{'}$ là hình thoi (do các cạnh bằng nhau) nên   $P^{'}Q \perp PQ^{'}$

Từ đó ta có  $M^{'}N \perp P^{'}Q$

Bài 5. Một chiếc thang có dạng hình thang cân dài 6 m, hai chân thang cách nhau 80 cm, hai ngọn thang cách nhau 60 cm. Thang được dựa vào bờ tường như hình. Tính góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang (tính gần đúng theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Gọi A, B là hai điểm tại hai vị trí chân thang và C, D là hai điểm tại hai vị trí ngọn thang, EF là đường chân tường.

Ta có EF // AB nên  $( EF , AC ) = ( AB , AC ) = \widehat{BAC}$

Kẻ CH vuông góc với AB tại H, khi đó  $AH = \frac{AB - CD}{2} = 10 \text{\,\,(cm)} = 0 , 1 \text{\,\,(m).}$

Tam giác ACH vuông tại H nên   $cos\widehat{CAH} = \frac{AH}{AC} = \frac{0 , 1}{6} = \frac{1}{60}$

Suy ra   $\widehat{CAH} \approx 89 , 05 ^{\circ}$

Vậy góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang bằng khoảng 89,05^o