Lý thuyết Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu $limx \to x_{0} \text{}$ f(x) = f(x₀).

Hàm số f(x) không liên tục tại x₀ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số g(x) = $\frac{2x + 1}{2x-1}$ tại điểm x₀ = 1.

Hướng dẫn giải

Ta thấy hàm số g(x) xác định trên ℝ \

Ta có: g(1) = $\frac{2.1 + 1}{2.1-1}$ = 3

$limx \to 1 \text{} g(x) \text{} = \text{} limx \to 1 \text{} \frac{2x + 1}{2x-1} \text{}$ = 3 = g(1).

Vậy hàm số g(x) liên tục tại x₀ = 1.

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và $limx \to a^{+}$ f(x) = f(a), $limx \to b^{-}$ f(x) = f(b).

- Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a; b], [a; +∞),… được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể thấy đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

- Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có:

+ Hàm số đa thức và các hàm số y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ.

+ Các hàm số y = tan x, y = cot x, y = $\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = $\frac{x + 2}{x-2}$ . Tìm các khoảng trên đó hàm số f(x) liên tục.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số f(x) là (–∞; 2) ∪ (2; +∞). Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).

Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x) . g(x) liên tục tại x₀;

b) Hàm số y =

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = $\frac{cosx}{3-x}$ .

Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho xác định trên các khoảng (–∞; 3) và (3; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Do đó, hàm số f(x) liên tục trên ℝ \{3}.

Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) . f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

Ví dụ: Phương trình 2x³ – 6x + 1 = 0 có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực thuộc khoảng (–2; 2) ?

Hướng dẫn giải

Vì hàm số f(x) = 2x³ – 6x + 1 liên tục trên ℝ nên nó liên tục trên đoạn[– 2; 2].

Ta có: f(–2) = –3 ; f(2) = 5 ; f(0) = 1 ; f(1) = – 3.

Ta thấy:

+) f(– 2). f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (–2; 0).

+) f(0) . f(1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 1).

+) f(1) . f(2) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1; 2).

Do đó phương trình: 2x³ – 6x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm thực thuộc khoảng (– 2; 2).

Bài tập Hàm số liên tục

Bài 1: Cho hàm số f(x) =

Hướng dẫn giải

+) Với x ∈ (0; 9): f(x) = $\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}$ liên tục trên (0; 9).

+) Với x ∈ [9; +∞) thì f(x) = $\frac{3}{x}$ liên tục trên [9; +∞).

+) Tại x = 0 ta có f(0) = m

Vậy để hàm số liên tục trên [0; +∞) khi nó phải liên tục tại x = 0.

Suy ra: $limx \to 0^{+}$ f(x) = m $\Rightarrow$ m = $\frac{1}{6}$ .

Vậy m = $\frac{1}{6}$ thì f(x) liên tục trên [0; +∞).

Bài 2: Cho hàm số f(x) =

Hướng dẫn giải

Ta có: f(0) = 0

$limx \to 0^{+}$ f(x) = $limx \to 0^{+}$ (x²+1) = 1

$limx \to 0^{-}$ f(x) = $limx \to 0^{-}$ x = 0

Vậy f(x) gián đoạn tại x = 0.

Bài 3: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 3 và $limx \to 1$ [2f(x)-g(x)] = 4. Tính g(1).

Hướng dẫn giải

Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1.

Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1.

Suy ra: $limx \to 1$ [2f(x)-g(x)] = 2f(1) – g(1) = 4

Mà f(1) = 3 nên ta có: 2 . 3 – g(1) = 4, suy ra g(1) = 2.

Vậy g(1) = 2.