Lý thuyết Toán 11 Bài 18: Luỹ thừa với số mũ thực

• Cho n là một số nguyên dương. Ta định nghĩa:

Với a là số thực tuỳ ý:   $a^{n} = a \cdot a \cdots a n \text{~thừa~số~} \text{.~}$

Với a là số thực khác 0:  $a^{0} = 1 ; a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$

• Trong biểu thức a^m, a gọi là cơ số, m gọi là số mũ.

Lưu ý:  0⁰ và  $0^{- n}(n \in \mathbb{N}^{*})$  không có nghĩa.

Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự như luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Với $a \ne 0 , b \ne 0$  và m, n là các số nguyên, ta có:

Chú ý:

- Nếu a > 1 thì  a^m > aⁿ khi và chỉ khi m > n.

- Nếu 0 < a < 1 thì a^m > aⁿ khi và chỉ khi m < n.

Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức:  $A = \frac{3^{4} \cdot 3^{- 2} + 2^{5} \cdot 2^{- 4}}{2^{4} \cdot 2^{3} - 2 \cdot 3^{5} \cdot 3^{- 4}}$

Hướng dẫn giải

Ta có 

• Khái niệm căn bậc n

Cho số thực a và số nguyên dương n. Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a..

Nhận xét. Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n và kí hiệu là  $\sqrt[n]{a}$ . Căn bậc 1 của số a chính là a.

Lưu ý:  $\sqrt[n]{0} = 0 \text{\,\,} (n \in \mathbb{N}^{*})$ .

Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau, giá trị dương kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$  (gọi là căn số học bậc n của a), giá trị âm kí hiệu là $- \sqrt[n]{a}$ .

Ví dụ 2. Tính:  $a ) \sqrt[3]{- 216} b ) \sqrt[6]{\frac{1}{729}}$ .

Hướng dẫn giải

• Tính chất của căn bậc n

Giả sử n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên. Khi đó:

(Giả thiết các biểu thức ở trên đều có nghĩa).

Ví dụ 3. Tính: $a ) \sqrt[5]{- 16} \cdot \sqrt[5]{2} b ) \sqrt[3]{7\sqrt{7}}$ .

Hướng dẫn giải

• Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó m là một số nguyên và n là số nguyên dương. Luỹ thừa của a với số mũ r, kí hiệu là  a^r, xác định bởi $a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ .

Chú ý. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ (của một số thực dương) có đầy đủ các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên.

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức  $A = \frac{\sqrt[3]{a^{5}} \cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^{4} \cdot \sqrt[7]{a^{- 2}}}$ với a > 0.

Hướng dẫn giải

3.1. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực

Cho a là số thực dương và α là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ (r_n) mà $limn \to + \infty r_{n} = \alpha$ . Khi đó, dãy số $(a^{r_{n}})$ có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ (r_n) đã chọn. Giới hạn đó gọi là luỹ thừa của a với số mũ α, kí hiệu là a^α.

$a^{\alpha } = limn \to + \infty a^{r_{n}} .$

Chú ý. Luỹ thừa với số mũ thực (của một số dương) có đầy đủ các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên.

Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức:  $P = \frac{a^{\sqrt{3} + 1} \cdot a^{2 - \sqrt{3}}}{(a^{\sqrt{2} - 2})^{\sqrt{2} + 2}}$ với a > 0.

Hướng dẫn giải

3.2. Tính lũy thừa với số mũ thực bằng máy tính cầm tay

Có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính căn bậc n và luỹ thừa với số mũ thực.

Bài tập Lũy thừa với số mũ thực

Bài 1. Thực hiện phép tính:

Hướng dẫn giải

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

Bài 3. Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

Hướng dẫn giải

Bài 4. Ông An gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,8%/ tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho tháng tiếp theo và từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng ông gửi thêm vào tài khoản với số tiền 2 triệu đồng. Hỏi sau đúng 2 năm số tiền ông An nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông An không rút tiền ra.

Hướng dẫn giải

Với 100 triệu đồng ban đầu số tiền cả lãi và gốc thu được sau hai năm là

$T_{1} = 100 \cdot 10^{6} \cdot (1 + 0 , 8\%)^{24} \approx 121 \text{\,} 074 \text{\,} 524$  (đồng).

Mỗi tháng tiếp theo gửi 2 triệu đồng thì tổng số tiền cả lãi và gốc là

Vậy tổng số tiền ông An nhận được là