MasterSchool
Đăng nhậpHS

Toán học lớp 7 · KNTT · Chương 6

Lý thuyết Toán 7 Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch

Chương 6: Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ · Kết nối tri thức với cuộc sống

Tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch theo chương trình SGK Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá lý thuyết định nghĩa, định lí, tính chất hình học và đại số, phương pháp giải, hình vẽ minh hoạ, bảng tổng hợp và câu hỏi ôn tập có đáp án chi tiết.

Lớp
6789
Môn
Toán họcNgữ vănTiếng AnhKhoa học tự nhiênLịch sử & Địa lýGiáo dục công dânTin họcCông nghệ

I. Đại lượng tỉ lệ nghịch

• Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y=ax(a là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Chú ý:

Chú ý:

Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a và ta nói hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ: Nếu y=3x thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số 3, hay x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số 3.

Ví dụ:

Nhận xét:

Nhận xét:

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau thì:

• Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ):

x1y1=x2y2=x3y3=...=a hay y11x1=y21x2=y31x3=...=a

• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

y1y2=x2x1;y1y3=x3x1;y2y3=x3x2;...

Ví dụ: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

Ví dụ:

x

0,5

-1,2

4

6

y

3

-2

1,5

x

0,5

-1,2

4

6

y

3

-2

1,5

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải:

Gọi hệ số tỉ lệ của x và y là a, nghĩa là y=ax hay x . y = a.

Ta có x = 4 thì y = 1,5 nên suy ra a = x.y = 4 . 1,5 = 6.

Vậy x . y = 6.

Khi x = 0,5 thì y = 6 : 0,5 = 12

Khi x = -1,2 thì y = 6 : (-1,2) = -5

Khi y = 3 thì x = 6 : 3 = 2

Khi y = -2 thì x = 6 : (-2) = -3

Khi x = 6 thì y = 6 : 6 = 1

Vậy ta có bảng sau:

x

0,5

-1,2

2

-3

4

6

y

12

-5

3

-2

1,5

1

x

0,5

-1,2

2

-3

4

6

y

12

-5

3

-2

1,5

1

II. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Để giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, ta cần nhận biết được hai đại lượng tỉ lệ nghịch trong bài toán. Từ đó ta có thể lập các tỉ số bằng nhau và dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm các yếu tố chưa biết.

Ví dụ:

Ví dụ:

Cho biết 35 công nhân xây một ngôi nhà hết 168 ngày. Hỏi 28 công nhân xây một ngôi nhà trong bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau)

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải:

Vì năng suất làm việc của mỗi người là như nhau nên số công nhân và số ngày xây xong ngôi nhà là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Gọi số công nhân là y (công nhân); số ngày xây xong ngôi nhà là x (ngày). (y ∈ℕ*; x > 0)

Ta có x . y = a

Khi y = 35 thì x = 168 nên ta có a = 35 . 168 = 5880.

Do đó x . y = 5880.

Vậy khi y = 28 thì x = 5880 : 28 =210.

Vậy 28 công nhân xây ngôi nhà đó hết 210 ngày.

III. Bảng so sánh đối chiếu đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch

Nội dung trọng tâm Công thức / Kí hiệu Quy tắc / Định nghĩa Ví dụ minh họa
Công thức liên hệThuận: y=k⋅xy = k \cdot x; Nghịch: y=axy = \frac{a}{x} hay x⋅y=ax \cdot y = aThuận là phép nhân; Nghịch là phép chiaTỉ lệ thuận: s=vts = vt; Tỉ lệ nghịch: v⋅t=sv \cdot t = s
Đại lượng không đổiThuận: TỈ SỐ yx=k\frac{y}{x} = k không đổiNghịch: TÍCH x⋅y=ax \cdot y = a không đổiNhận diện dạng toán qua tích hay thương
Tỉ số giữa 2 giá trịThuận: x1x2=y1y2\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}Nghịch: x1x2=y2y1\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1} (nghịch đảo)Tỉ lệ nghịch đổi ngược chỉ số
Biến thiênThuận: xx tăng thì yy tăng theo tỉ lệNghịch: xx tăng bao nhiêu lần thì yy giảm bấy nhiêu lầnTăng số công nhân thì giảm số ngày làm
Ứng dụng thực tếThuận: năng suất lao động; Nghịch: phân chia công việcChọn đúng công thức trước khi lập phương trìnhHai bài toán nền tảng của số học THCS

IV. Ghi nhớ trọng tâm "Em đã học"

📌 Các điểm then chốt cần ghi nhớ:

  • Kiến thức then chốt 1: Định nghĩa đại lượng tỉ lệ nghịch: Nếu đại lượng yy liên hệ với đại lượng xx theo công thức y=axy = \frac{a}{x} hay x⋅y=ax \cdot y = a (với hằng số a≠0a \ne 0) thì ta nói yy tỉ lệ nghịch với xx theo hệ số tỉ lệ aa.
  • Kiến thức then chốt 2: Tính đối xứng của hệ số tỉ lệ: Khi yy tỉ lệ nghịch với xx theo hệ số tỉ lệ aa thì xx cũng tỉ lệ nghịch với yy theo đúng hệ số tỉ lệ aa.
  • Kiến thức then chốt 3: Tính chất 1 của hai đại lượng tỉ lệ nghịch: Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ: x1⋅y1=x2⋅y2=...=xn⋅yn=ax_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = ... = x_n \cdot y_n = a.
  • Kiến thức then chốt 4: Tính chất 2: Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: x1x2=y2y1\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}; x1x3=y3y1\frac{x_1}{x_3} = \frac{y_3}{y_1}.
  • Kiến thức then chốt 5: Mô hình thực tế: Thời gian và vận tốc trên cùng một quãng đường cố định v⋅t=sv \cdot t = s; số công nhân và số ngày hoàn thành cùng một khối lượng công việc.

🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)

  • Định nghĩa đại lượng tỉ lệ nghịch: Nếu đại lượng yy liên hệ với đại lượng xx theo công thức y=axy = \frac{a}{x} hay x⋅y=ax \cdot y = a (với hằng số a≠0a \ne 0) thì ta nói yy tỉ lệ nghịch với xx theo hệ số tỉ lệ aa.
  • Tính đối xứng của hệ số tỉ lệ: Khi yy tỉ lệ nghịch với xx theo hệ số tỉ lệ aa thì xx cũng tỉ lệ nghịch với yy theo đúng hệ số tỉ lệ aa.
  • Tính chất 1 của hai đại lượng tỉ lệ nghịch: Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ: x1⋅y1=x2⋅y2=...=xn⋅yn=ax_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = ... = x_n \cdot y_n = a.
  • Tính chất 2: Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: x1x2=y2y1\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}; x1x3=y3y1\frac{x_1}{x_3} = \frac{y_3}{y_1}.
  • Mô hình thực tế: Thời gian và vận tốc trên cùng một quãng đường cố định v⋅t=sv \cdot t = s; số công nhân và số ngày hoàn thành cùng một khối lượng công việc.

Câu hỏi ôn tập & củng cố bài học

Định nghĩa hai đại lượng tỉ lệ nghịch? Hệ số tỉ lệ nghịch có tính đối xứng không?
Nếu đại lượng yy liên hệ với đại lượng xx theo công thức y=axy = \frac{a}{x} hay x⋅y=ax \cdot y = a (với hằng số a≠0a \ne 0) thì ta nói yy tỉ lệ nghịch với xx theo hệ số tỉ lệ aa. **Tính đối xứng:** Khi yy tỉ lệ nghịch với xx theo hệ số aa thì xx cũng tỉ lệ nghịch với yy theo đúng hệ số tỉ lệ aa.
Nêu 2 tính chất cơ bản của hai đại lượng tỉ lệ nghịch?
Nếu hai đại lượng yy và xx tỉ lệ nghịch với nhau: 1. Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ: x1⋅y1=x2⋅y2=...=ax_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = ... = a. 2. Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: x1x2=y2y1\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}.
Biết xx và yy là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi x=4x = 4 thì y=9y = 9. Tìm hệ số tỉ lệ và tính yy khi x=6x = 6?
- Hệ số tỉ lệ là: a=x⋅y=4⋅9=36a = x \cdot y = 4 \cdot 9 = 36. - Biểu diễn yy theo xx: y=36xy = \frac{36}{x}. - Khi x=6⇒y=366=6x = 6 \Rightarrow y = \frac{36}{6} = 6.
Một đội gồm 12 công nhân xây xong một bức tường mất 6 ngày. Hỏi nếu tăng cường thêm 6 công nhân nữa (cùng năng suất) thì xây xong bức tường đó trong mấy ngày?
Số công nhân và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (vì khối lượng công việc không đổi). Tổng số công nhân sau khi tăng là: 12+6=1812 + 6 = 18 công nhân. Gọi thời gian hoàn thành là xx (ngày). Ta có: 18⋅x=12⋅6=7218 \cdot x = 12 \cdot 6 = 72 x=72:18=4x = 72 : 18 = 4 ngày.

Đề luyện tập theo bài

Toán 7 KNTT: Chương 6 Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch: Đề 1 Nhận biết22 câu hỏi · Nhận biết
Làm đề
Toán 7 KNTT: Chương 6 Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch: Đề 2 Thông hiểu22 câu hỏi · Thông hiểu
Làm đề
Toán 7 KNTT: Chương 6 Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch: Đề 3 Vận dụng22 câu hỏi · Vận dụng
Làm đề
Toán 7 KNTT: Chương 6 Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch: Đề 4 Vận dụng cao22 câu hỏi · Vận dụng cao
Làm đề
Toán 7 KNTT: Chương 6 Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch: Đề 5 Tổng hợp22 câu hỏi · Tổng hợp
Làm đề