Toán học lớp 7 · KNTT · Chương 9
Lý thuyết Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên theo chương trình SGK Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá lý thuyết định nghĩa, định lí, tính chất hình học và đại số, phương pháp giải, hình vẽ minh hoạ, bảng tổng hợp và câu hỏi ôn tập có đáp án chi tiết.
I. Khái niệm đường vuông góc và đường xiên
Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Lấy một điểm M trên d (M khác H), kẻ đoạn thẳng AM.
Trong hình trên đây:
+ Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
+ H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống d.
+ Đoạn thẳng AM là một đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d.
II. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Định lí:
Ví dụ: Từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ AH vuông góc với d và H nằm trên đường thẳng d. Lấy bất kì ba điểm B, C, D thuộc đường thẳng d và không trùng với H. So sánh độ dài đoạn AH và các đoạn AB, AC, AD.
Ví dụ:
Trong hình vẽ trên đây, AH được gọi là đường vuông góc và AB, AC, AD lần lượt là các đường xiên.
Theo định lí 1 ta suy ra đươc trong các đoạn thẳng MH, MA, MB, MC thì MH là đường ngắn nhất hay AH < AB, AH < AC, AH < AD.
Chú ý: Vì độ dài đoạn thẳng AH là ngắn nhất trong các đoạn thẳng kẻ từ A đến d nên độ dài đoạn thẳng AH được gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.
Chú ý:
III. Bảng so sánh đường vuông góc, đường xiên và khoảng cách
| Nội dung trọng tâm | Công thức / Kí hiệu | Quy tắc / Định nghĩa | Ví dụ minh họa |
|---|---|---|---|
| Đoạn vuông góc | Đoạn thẳng kẻ vuông góc từ điểm đến đường thẳng | Kí hiệu tại chân đường vuông góc | Là duy nhất kẻ từ điểm đến đường thẳng |
| Đường xiên | Đoạn thẳng nối điểm với 1 điểm tùy ý trên () | Kí hiệu đoạn thẳng | Có vô số đường xiên kẻ từ đến |
| Định lí đường ngắn nhất | Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên | với mọi điểm trên | Trong tam giác vuông , là cạnh huyền |
| Khoảng cách đến đường thẳng | Độ dài đoạn vuông góc | Khoảng cách ngắn nhất từ điểm tới đường thẳng | Dùng trong đo đạc thực tế |
| Ứng dụng thực tế | Chọn vị trí dựng cầu vuông góc để tiết kiệm vật liệu | Đo khoảng cách an toàn từ cột điện đến nhà ở | Đường đi ngắn nhất ra bờ sông |
IV. Ghi nhớ trọng tâm "Em đã học"
📌 Các điểm then chốt cần ghi nhớ:
- Kiến thức then chốt 1: Định nghĩa đoạn vuông góc: Đoạn thẳng kẻ từ điểm vuông góc với đường thẳng tại gọi là đoạn vuông góc kẻ từ đến . Điểm gọi là chân đường vuông góc (hoặc hình chiếu của lên ).
- Kiến thức then chốt 2: Định nghĩa đường xiên: Đoạn thẳng nối điểm với một điểm bất kì trên đường thẳng (khác điểm ) gọi là một đường xiên kẻ từ đến đường thẳng .
- Kiến thức then chốt 3: Định lí quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất: với mọi trên .
- Kiến thức then chốt 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Độ dài của đoạn vuông góc chính là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
- Kiến thức then chốt 5: Ứng dụng thực tế: Tìm đường đi ngắn nhất từ một vị trí đến bờ sông, xây dựng cầu vượt qua sông hoặc tính khoảng cách an toàn trong thi công công trình.
🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)
- Định nghĩa đoạn vuông góc: Đoạn thẳng kẻ từ điểm vuông góc với đường thẳng tại gọi là đoạn vuông góc kẻ từ đến . Điểm gọi là chân đường vuông góc (hoặc hình chiếu của lên ).
- Định nghĩa đường xiên: Đoạn thẳng nối điểm với một điểm bất kì trên đường thẳng (khác điểm ) gọi là một đường xiên kẻ từ đến đường thẳng .
- Định lí quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất: với mọi trên .
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Độ dài của đoạn vuông góc chính là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
- Ứng dụng thực tế: Tìm đường đi ngắn nhất từ một vị trí đến bờ sông, xây dựng cầu vượt qua sông hoặc tính khoảng cách an toàn trong thi công công trình.