Toán học lớp 7 · KNTT · Chương 9
Lý thuyết Toán 7 Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
Tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác theo chương trình SGK Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá lý thuyết định nghĩa, định lí, tính chất hình học và đại số, phương pháp giải, hình vẽ minh hoạ, bảng tổng hợp và câu hỏi ôn tập có đáp án chi tiết.
I. Bất đẳng thức tam giác
Định lí: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
Định lí:
Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình dưới đây:
Ví dụ:
Ta suy ra được các hệ thức sau:
AB < AC + BC
AC < AB + BC
BC < AC + AB
Ba hệ thức phai trên được gọi là các bất đẳng thức tam giác.
II. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác
Từ định lí trên, ta suy ra được tinh chất sau:
Tính chất: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.
Tính chất:
Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình dưới đây:
Ví dụ:
Ta suy ra được các hệ thức sau:
AB > AC − BC
AC > AB − BC
BC > AC – AB
Nhận xét: Với a, b, c là độ dài ba cạnh tùy ý của một tam giác thì từ định lí và tinh chất nêu trên ta có:
Nhận xét:
b – c < a < b + c
Chú ý: Để kiểm tra ba độ dài có là ba cạnh của một tam giác hay không, ta chỉ cần so sanh độ dài lớn nhất có nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại hoặc độ dài nhỏ nhất có lớn hơn hiệu hai độ dài còn lại hay không.
Chú ý:
Ví dụ: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C với độ dài các đoạn thẳng như sau: AB = 3, AC = 5, BC = 7. Hỏi AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác hay không?
Ví dụ:
Để kiểm tra xem AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác hay không ta có thể chứng minh theo hai cách:
+ Cách 1: Ta so sánh cạnh lớn nhất là BC = 7 với tổng hai cạnh còn lại.
Vì: BC < AB + AC (7 < 3 + 5) nên suy ra AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác.
+ Cách 2: Ta so sánh cạnh nhỏ nhất AB = 3 với hiệu hai cạnh còn lại.
Vì AB > BC – AC (3 > 7 – 5) nên suy ra AB, AC, BC có là ba cạnh của một tam giác.
III. Bảng bất đẳng thức tam giác và điều kiện ba cạnh
| Nội dung trọng tâm | Công thức / Kí hiệu | Quy tắc / Định nghĩa | Ví dụ minh họa |
|---|---|---|---|
| Bất đẳng thức tam giác | Tổng hai cạnh bất kì luôn lớn hơn cạnh thứ ba | ; ; | Định lí cơ bản cho mọi tam giác phẳng |
| Hệ quả hiệu hai cạnh | Hiệu hai cạnh bất kì luôn nhỏ hơn cạnh thứ ba | Độ dài một cạnh không thể quá ngắn | |
| Bất đẳng thức kép | Khoảng giá trị khả dĩ của độ dài cạnh thứ ba | Dùng để tìm khoảng giá trị của | |
| Điều kiện lập tam giác | Tổng 2 cạnh nhỏ hơn phải lớn hơn cạnh lớn nhất | Chỉ cần kiểm tra 1 bất đẳng thức duy nhất | Ba đoạn lập được tam giác vì |
| Trường hợp không lập được | Nếu thì 3 điểm thẳng hàng hoặc không nối được | Ba đoạn không tạo thành tam giác | Vì |
IV. Ghi nhớ trọng tâm "Em đã học"
📌 Các điểm then chốt cần ghi nhớ:
- Kiến thức then chốt 1: Định lí bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại: , , .
- Kiến thức then chốt 2: Hệ quả bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại: .
- Kiến thức then chốt 3: Bất đẳng thức kép về ba cạnh tam giác: Trong tam giác , độ dài mỗi cạnh luôn lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh kia: .
- Kiến thức then chốt 4: Điều kiện để ba đoạn thẳng lập thành một tam giác: Ba số dương là độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi tổng của hai số nhỏ hơn lớn hơn số lớn nhất.
- Kiến thức then chốt 5: Ứng dụng tìm miền giá trị của cạnh thứ ba: Khi biết độ dài hai cạnh của tam giác, ta sử dụng bất đẳng thức kép để xác định khoảng giá trị khả dĩ cho độ dài cạnh thứ ba.
🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)
- Định lí bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại: , , .
- Hệ quả bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại: .
- Bất đẳng thức kép về ba cạnh tam giác: Trong tam giác , độ dài mỗi cạnh luôn lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh kia: .
- Điều kiện để ba đoạn thẳng lập thành một tam giác: Ba số dương là độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi tổng của hai số nhỏ hơn lớn hơn số lớn nhất.
- Ứng dụng tìm miền giá trị của cạnh thứ ba: Khi biết độ dài hai cạnh của tam giác, ta sử dụng bất đẳng thức kép để xác định khoảng giá trị khả dĩ cho độ dài cạnh thứ ba.