MasterSchool
Đăng nhậpHS

Toán học lớp 7 · KNTT · Chương 7

Lý thuyết Toán 7 Bài 25: Đa thức một biến

Chương 7: Biểu thức đại số và đa thức một biến · Kết nối tri thức với cuộc sống

Tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 25: Đa thức một biến theo chương trình SGK Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá lý thuyết định nghĩa, định lí, tính chất hình học và đại số, phương pháp giải, hình vẽ minh hoạ, bảng tổng hợp và câu hỏi ôn tập có đáp án chi tiết.

Lớp
6789
Môn
Toán họcNgữ vănTiếng AnhKhoa học tự nhiênLịch sử & Địa lýGiáo dục công dânTin họcCông nghệ

I. Đơn thức một biến

• Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.

• Cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên lũy thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức.

• Nhân hai đơn thức tùy ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau. Tích nhận được là một đơn thức.

Ví dụ:

Ví dụ:

+ Biểu thức 5x2 là một đơn thức, trong đó 5 là hệ số, số mũ 2 của x là bậc của đơn thức đó.

+ Đơn thức −12x có hệ số là −12 và có bậc là 1 vì x = x1.

+ Đơn thức x4 có hệ số là 1 (vì x4 = 1x4) và bậc là 4.

+ Cộng hai đơn thức cùng bậc: 2x3 + 7x3 = (2 + 7)x3 = 9x3.

+ Trừ hai đơn thức cùng bậc: – 4x5 – x5 = (– 4 – 1)x5 = – 5x5.

+ Nhân hai đơn thức: – 3x2.23x = −3⋅23x2⋅x = – 2x3.

Chú ý:

Chú ý:

• Một số khác 0 được gọi là đơn thức bậc 0.

Chẳng hạn, số 3 là đơn thức bậc 0 vì có thể coi 3 = 3x0.

• Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Đơn thức này không có bậc.

II. Khái niệm đa thức một biến

• Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

• Một đơn thức cũng là một đa thức.

• Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.

Ví dụ:

Ví dụ:

+ Biểu thức – 4x4 + 2x – 10 là đa thức một biến với các hạng tử là – 4x4; 2x và – 10.

+ Các đơn thức x4; 2x; – 1 cũng là đa thức.

Chú ý:

Chú ý:

• Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn.

Chẳng hạn: M = M(x) = x3 – 2x2 + 7x + 1.

III. Đa thức một biến thu gọn

• Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc.

• Nếu một đa thức có chứa những đơn thức cùng bậc (đa thức chưa thu gọn) thì ta có thể đưa nó về dạng thu gọn.

Ví dụ:

Ví dụ:

+ Đa thức A = 5x2 + 6x3 – x + 1 là đa thức thu gọn vì không có hai đơn thức nào cùng bậc.

+ Đa thức B = – 3x2 – 12 + x5 + x2 – 2x4 là đa thức chưa thu gọn vì có hai đơn thức cùng bậc là – 3x2 và x2.

Để thu gọn đa thức B = – 3x2 – 12 + x5 + x2 – 2x4 ta làm như sau:

B = – 3x2 – 12 + x5 + x2 – 2x4

= (– 3x2 + x2) – 12 + x5 – 2x4← Đổichỗ và nhóm hai đơn thức cùng bậc 2

= (– 3 + 1)x2 – 12 + x5 – 2x4← Cộng hai đơn thức cùng bậc

= –2x2 – 12 + x5 – 2x4← Đa thức thu gọn

IV. Sắp xếp đa thức một biến

• Đối với các đa thức khác đa thức 0, để thuận lợi cho việc tính toán các đa thức một biến, người ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm dần của biến.

Ví dụ:

Ví dụ:

+ Sắp xếp đa thức P = 7x2 – 3x +1 – 2x4 theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:

P = – 2x4 + 7x2 – 3x + 1

+ Đa thức P = – 2x4 + 7x2 – 3x + 1 có đơn thức bậc 4 và bậc 2 nhưng khuyết đơn thức bậc 3. Khi cần ta có thể viết là:

P = – 2x4 + 0x3 + 7x2 – 3x + 1

Chú ý:

Chú ý:

• Ta có thể sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến.

Chẳng hạn, sắp xếp đa thức P = 7x2 – 3x +1 – 2x4 theo lũy thừa tăng dần của biến, ta được: P =1 – 3x + 7x2 – 2x4.

V. Bậc và các hệ số của một đa thức

Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức 0:

• Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó.

• Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.

• Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

Ví dụ:

Ví dụ:

+ Để xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức Q = 2x3 – 3x2 – x – 2x3 + 7 ta làm như sau:

Thu gọn đa thức Q

Q = 2x3 – 3x2 – x – 2x3 + 7

= (2x3 – 2x3) – 3x2 – x + 7

= – 3x2 – x + 7

Trong dạng thu gọn của Q, hạng tử có bậc cao nhất là – 3x2 nên bậc của đa thức Q là 2, hệ số cao nhất là – 3.

Hạng tử bậc 0 là 7 (vì 7 = 7x0) nên hệ số tự do là 7.

Chú ý:

Chú ý:

• Đa thức không là đa thức không có bậc.

• Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0)

• Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.

VI. Nghiệm của đa thức một biến

• Nếu tại x = a (a là một số), đa thức F(x) có giá trị bằng 0, tức là F(a) = 0, thì ta gọi a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức F(x).

• Một đa thức có thể có nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm.

• Một đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì x = 0 là một nghiệm của đa thức đó.

Ví dụ:

Ví dụ:

+ Đa thức F(x) = x2 – 4 có hai nghiệm là x = 2 và x = – 2 vì

F(2) = 22 – 4 = 0; F(– 2) = (– 2)2 – 4 = 0.

+ Đa thức G(x) = 1 + x2 không có nghiệm vì x2 ≥ 0 với mọi giá trị của x.

Nên G(x) = 1 + x2 ≥ 1 > 0.

+ Đa thức P(x) = x2 + x có hệ số tự do là 0.

Mà ta có P(0) = 02 + 0 = 0. Do đó, x = 0 là một nghiệm của đa thức.

VII. Bảng cấu trúc đa thức một biến và nghiệm của đa thức

Nội dung trọng tâm Công thức / Kí hiệu Quy tắc / Định nghĩa Ví dụ minh họa
Đơn thức một biếnDạng a⋅xka \cdot x^k (a∈R,k∈Na \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{N})aa là hệ số, kk là số mũ của biến xx5x35x^3; −2x-2x; 77 (hệ số a=7,k=0a=7, k=0)
Đa thức một biếnTổng các đơn thức của cùng một biếnKí hiệu P(x),Q(x),A(y)P(x), Q(x), A(y)P(x)=2x3−5x2+x−7P(x) = 2x^3 - 5x^2 + x - 7
Bậc của đa thứcSố mũ lớn nhất của biến trong đa thức thu gọnĐa thức không (số 0) không có bậcP(x)=4x5−2x2+1P(x) = 4x^5 - 2x^2 + 1 có bậc là 5
Hệ số cao nhất & tự doHệ số cao nhất: đi với lũy thừa cao nhất; Tự do: không biếnHai hệ số đặc trưng của đa thứcỞ trên: Hệ số cao nhất là 4; Hệ số tự do là 1
Nghiệm của đa thứcSố aa là nghiệm nếu P(a)=0P(a) = 0Đa thức bậc nn có tối đa nn nghiệmP(x)=2x−6P(x) = 2x - 6 có nghiệm x=3x = 3 vì P(3)=0P(3) = 0

VIII. Ghi nhớ trọng tâm "Em đã học"

📌 Các điểm then chốt cần ghi nhớ:

  • Kiến thức then chốt 1: Đơn thức một biến: Là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa số và lũy thừa của biến đó (dạng a⋅xka \cdot x^k với a∈R,k∈Na \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{N}). aa gọi là hệ số, kk là số mũ.
  • Kiến thức then chốt 2: Đa thức một biến: Là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức. Kí hiệu đa thức thường là A(x),P(x),Q(y)A(x), P(x), Q(y).
  • Kiến thức then chốt 3: Thu gọn và sắp xếp đa thức: Thu gọn là cộng các đơn thức có cùng số mũ của biến. Sắp xếp là viết các hạng tử theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.
  • Kiến thức then chốt 4: Bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do: Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đã thu gọn. Hệ số của lũy thừa bậc cao nhất là hệ số cao nhất; hạng tử không chứa biến là hệ số tự do.
  • Kiến thức then chốt 5: Nghiệm của đa thức một biến: Số aa được gọi là nghiệm của đa thức P(x)P(x) nếu P(a)=0P(a) = 0. Một đa thức bậc nn có không quá nn nghiệm.

🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)

  • Đơn thức một biến: Là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa số và lũy thừa của biến đó (dạng a⋅xka \cdot x^k với a∈R,k∈Na \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{N}). aa gọi là hệ số, kk là số mũ.
  • Đa thức một biến: Là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức. Kí hiệu đa thức thường là A(x),P(x),Q(y)A(x), P(x), Q(y).
  • Thu gọn và sắp xếp đa thức: Thu gọn là cộng các đơn thức có cùng số mũ của biến. Sắp xếp là viết các hạng tử theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.
  • Bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do: Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đã thu gọn. Hệ số của lũy thừa bậc cao nhất là hệ số cao nhất; hạng tử không chứa biến là hệ số tự do.
  • Nghiệm của đa thức một biến: Số aa được gọi là nghiệm của đa thức P(x)P(x) nếu P(a)=0P(a) = 0. Một đa thức bậc nn có không quá nn nghiệm.

Câu hỏi ôn tập & củng cố bài học

Đa thức một biến là gì? Thế nào là thu gọn đa thức một biến?
- Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Kí hiệu đa thức thường là A(x),P(x),Q(y)A(x), P(x), Q(y). - Thu gọn đa thức một biến là thực hiện cộng, trừ các đơn thức đồng dạng (các đơn thức có cùng số mũ của biến) để đa thức không còn hai đơn thức nào đồng dạng.
Bậc của đa thức một biến là gì? Phân biệt hệ số cao nhất và hệ số tự do?
- **Bậc của đa thức:** Là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đã thu gọn (khác đa thức 0). - **Hệ số cao nhất:** Là hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của biến. - **Hệ số tự do:** Là hạng tử không chứa biến (hạng tử bậc 0).
Nghiệm của đa thức một biến là gì? Một đa thức bậc nn có tối đa bao nhiêu nghiệm?
- Số aa được gọi là **nghiệm** của đa thức P(x)P(x) nếu giá trị của đa thức tại x=ax = a bằng 0, tức là P(a)=0P(a) = 0. - Định lí: Một đa thức một biến (khác đa thức 0) bậc nn có **không quá nn nghiệm**.
Cho đa thức P(x)=3x3−5x+2x3+7−x2P(x) = 3x^3 - 5x + 2x^3 + 7 - x^2. Hãy thu gọn, sắp xếp theo lũy thừa giảm dần, tìm bậc và kiểm tra xem x=1x = 1 có là nghiệm không?
- Thu gọn: P(x)=(3x3+2x3)−x2−5x+7=5x3−x2−5x+7P(x) = (3x^3 + 2x^3) - x^2 - 5x + 7 = 5x^3 - x^2 - 5x + 7. - Bậc của đa thức là 3 (số mũ lớn nhất là 3). - Hệ số cao nhất là 5; hệ số tự do là 7. - Kiểm tra x=1x = 1: P(1)=5(1)3−(1)2−5(1)+7=5−1−5+7=6≠0P(1) = 5(1)^3 - (1)^2 - 5(1) + 7 = 5 - 1 - 5 + 7 = 6 \ne 0. Vì P(1)≠0P(1) \ne 0 nên x=1x = 1 **không phải là nghiệm** của đa thức P(x)P(x).