Toán học lớp 7 · KNTT · Chương 9
Lý thuyết Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác
Tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác theo chương trình SGK Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá lý thuyết định nghĩa, định lí, tính chất hình học và đại số, phương pháp giải, hình vẽ minh hoạ, bảng tổng hợp và câu hỏi ôn tập có đáp án chi tiết.
I. Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác
a) Đường trung trực của tam giác
a) Đường trung trực của tam giác
Trong tam giác ABC, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác. Ở hình dưới đây, a là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC.
b) Sự đồng quy của ba đường trung trực
b) Sự đồng quy của ba đường trung trực
Định lí 1: Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
Định lí 1:
Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường trung trực a, b, c đồng quy tại điểm O.
Ví dụ:
Khi đó: OA = OB = OC.
Nhận xét: Vì giao điểm O của ba đường trung trực trong tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó (OA = OB = OC) nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C.
Nhận xét:
II. Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác
a) Đường cao của tam giác
a) Đường cao của tam giác
Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AH kẻ từ đỉnh A, vuông góc với cạnh đối diện BC là một đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A (hay đường cao ứng với cạnh BC).
b) Sự đồng quy của ba đường cao
b) Sự đồng quy của ba đường cao
Định lí 2: Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm.
Định lí 2:
Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường cao AI, BJ, CK đồng quy tại điểm H.
Ví dụ:
Chú ý:
Chú ý:
- Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.
Ví dụ:Cho tam giác ABC có các đường cao AI, BJ, CK đồng quy tại điểm H.
Ví dụ:
Khi đó, H được gọi là trực tâm của tam giác ABC.
- Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, ta có:
+) Khi ABC là tam giác nhọn thì H nằm bên trong tam giác.
+) Khi ABC là tam giác vuông thì H trùng với A (kí hiệu H ≡ A).
+) Khi ABC là tam giác tù thì H nằm bên ngoài tam giác.
III. Bảng đối chiếu ba đường trung trực và ba đường cao trong tam giác
| Nội dung trọng tâm | Công thức / Kí hiệu | Quy tắc / Định nghĩa | Ví dụ minh họa |
|---|---|---|---|
| Đường trung trực | Vuông góc tại trung điểm của mỗi cạnh | Ba đường trung trực đồng quy tại tâm ngoại tiếp | Điểm cách đều ba đỉnh: |
| Đường cao | Đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh đến cạnh đối diện | Ba đường cao đồng quy tại Trực tâm | Mỗi tam giác có đúng ba đường cao |
| Vị trí tâm ngoại tiếp | Nhọn: trong tam giác; Vuông: trung điểm cạnh huyền; Tù: ngoài | Đặc trưng vị trí phụ thuộc vào loại góc | Trung điểm cạnh huyền cách đều 3 đỉnh |
| Vị trí trực tâm | Nhọn: trong tam giác; Vuông: trùng đỉnh góc vuông; Tù: ngoài | Tam giác vuông trực tâm là đỉnh góc vuông | Rất hay gặp trong các bài toán chứng minh |
| Tam giác đều | Trọng tâm, trực tâm, tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp trùng nhau | Bốn điểm đồng quy nhập lại làm một điểm duy nhất | Tâm đối xứng quay của tam giác đều |
IV. Ghi nhớ trọng tâm "Em đã học"
📌 Các điểm then chốt cần ghi nhớ:
- Kiến thức then chốt 1: Đường trung trực của tam giác: Đường trung trực của mỗi cạnh tam giác gọi là đường trung trực của tam giác. Mỗi tam giác có đúng ba đường trung trực.
- Kiến thức then chốt 2: Tính chất ba đường trung trực (Tâm đường tròn ngoại tiếp): Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác () và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
- Kiến thức then chốt 3: Đặc điểm tâm ngoại tiếp: Đối với tam giác nhọn tâm nằm trong tam giác; đối với tam giác vuông tâm là trung điểm của cạnh huyền; đối với tam giác tù tâm nằm ngoài tam giác.
- Kiến thức then chốt 4: Đường cao và Trực tâm của tam giác: Đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao. Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm gọi là trực tâm của tam giác (kí hiệu ).
- Kiến thức then chốt 5: Tính chất trong tam giác đều: Điểm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp trùng khít nhau tại một điểm duy nhất.
🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)
- Đường trung trực của tam giác: Đường trung trực của mỗi cạnh tam giác gọi là đường trung trực của tam giác. Mỗi tam giác có đúng ba đường trung trực.
- Tính chất ba đường trung trực (Tâm đường tròn ngoại tiếp): Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác () và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
- Đặc điểm tâm ngoại tiếp: Đối với tam giác nhọn tâm nằm trong tam giác; đối với tam giác vuông tâm là trung điểm của cạnh huyền; đối với tam giác tù tâm nằm ngoài tam giác.
- Đường cao và Trực tâm của tam giác: Đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao. Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm gọi là trực tâm của tam giác (kí hiệu ).
- Tính chất trong tam giác đều: Điểm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp trùng khít nhau tại một điểm duy nhất.