Toán học lớp 7 · KNTT · Chương 7
Lý thuyết Toán 7 Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến
Tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến theo chương trình SGK Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá lý thuyết định nghĩa, định lí, tính chất hình học và đại số, phương pháp giải, hình vẽ minh hoạ, bảng tổng hợp và câu hỏi ôn tập có đáp án chi tiết.
I. Cộng hai đa thức một biến
• Cách 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc rồi nối chúng bởi dấu “+”. Sau đó bỏ ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.
• Cách 2: Đặt tính cộng sao cho các hạng tử cùng bậc của hai đa thức thì thẳng cột với nhau rồi cộng theo từng cột. Nếu đa thức khuyết một hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.
Ví dụ:
Ví dụ:
+ Cho hai đa thức A(x) = x4 + 2x3 – x2 + 9x – 3; B(x) = – x4 + 5x2 – 3x + 1
Muốn tính tổng hai đa thức A(x) và B(x) ta làm như sau:
Cách 1:
A(x) + B(x)
= (x4 + 2x3 – x2 + 9x – 3) + (– x4 + 5x2 – 3x + 1) ⟵ Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
= x4 + 2x3 – x2 + 9x – 3 – x4 + 5x2 – 3x + 1 ⟵ Bỏ dấu ngoặc
= (x4 – x4) + 2x3 + (– x2 + 5x2) + (9x – 3x) – (3 – 1) ⟵ Nhóm các hạng tử cùng bậc
= 2x3 + 4x2 + 6x – 2
Vậy A(x) + B(x) = 2x3 + 4x2 + 6x – 2.
Cách 2: Đặt tính. Ta thấy đa thức B(x) bị khuyết hạng tử bậc 3 nên ta để khoảng trống ứng với hạng tử này khi đặt tính.
Chú ý: Phép cộng đa thức cũng có tính chất như phép cộng số thực. Cụ thể là:
Chú ý:
+ Tính chất giao hoán: A + B = B + A;
+ Tính chất kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C);
+ Cộng với đa thức không: A + 0 = 0 + A = A.
II. Trừ hai đa thức một biến
• Cách 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc rồi nối chúng bởi dấu “–”. Sau đó bỏ ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.
• Cách 2: Đặt tính trừ sao cho các hạng tử cùng bậc của hai đa thức thì thẳng cột với nhau rồi trừ theo từng cột. Nếu đa thức khuyết một hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.
Ví dụ:
Ví dụ:
+ Cho hai đa thức A(x) = x4 + 2x3 – x2 + 9x – 3; B(x) = – x4 + 5x2 – 3x + 1
Muốn tính hiệu A(x) – B(x) ta làm như sau:
Cách 1:
A(x) – B(x)
= (x4 + 2x3 – x2 + 9x – 3) – (– x4 + 5x2 – 3x + 1) ⟵ Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
= x4 + 2x3 – x2 + 9x – 3 + x4 – 5x2 + 3x – 1 ⟵ Bỏ dấu ngoặc
= (x4 + x4) + 2x3 – (x2 + 5x2) + (9x + 3x) – (3 + 1) ⟵ Nhóm các hạng tử cùng bậc
= 2x4 + 2x3 – 6x2 + 12x – 4
Vậy A(x) – B(x) = 2x4 + 2x3 – 6x2 + 12x – 4.
Cách 2:
Chú ý: Tương tự như các số, với các đa thức P, Q và R, ta cũng có:
Chú ý:
- Nếu Q + R = P thì R = P – Q.
- Nếu R = P – Q thì Q + R = P.
III. Bảng quy tắc cộng, trừ đa thức một biến theo hàng ngang và cột dọc
| Nội dung trọng tâm | Công thức / Kí hiệu | Quy tắc / Định nghĩa | Ví dụ minh họa |
|---|---|---|---|
| Đơn thức đồng dạng | Cùng một biến và có cùng số mũ | Cộng trừ hệ số, giữ nguyên phần biến | ; |
| Cộng trừ hàng ngang | Bước 1: Viết trong ngoặc; Bước 2: Bỏ ngoặc | Bước 3: Nhóm đồng dạng; Bước 4: Thu gọn | Chú ý đổi dấu khi bỏ ngoặc trước có dấu trừ |
| Đặt tính cột dọc | Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần | Đặt các đơn thức cùng bậc thẳng cột với nhau | Thực hiện cộng trừ từng cột tương ứng |
| Khuyết bậc trong cột | Để trống vị trí bậc bị khuyết | Tránh cộng nhầm các bậc khác nhau | Nếu khuyết thì chừa khoảng trống |
| Bậc của tổng / hiệu | Không vượt quá bậc cao nhất của 2 đa thức | Có thể triệt tiêu bậc cao nhất khiến bậc giảm xuống | (từ bậc 2 về bậc 0) |
IV. Ghi nhớ trọng tâm "Em đã học"
📌 Các điểm then chốt cần ghi nhớ:
- Kiến thức then chốt 1: Đơn thức đồng dạng: Hai đơn thức của cùng một biến có cùng số mũ được gọi là hai đơn thức đồng dạng. Muốn cộng hay trừ các đơn thức đồng dạng, ta cộng hay trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.
- Kiến thức then chốt 2: Cách 1 - Cộng, trừ đa thức theo hàng ngang: Bước 1: Viết tổng hoặc hiệu các đa thức trong ngoặc; Bước 2: Bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc; Bước 3: Nhóm các đơn thức đồng dạng; Bước 4: Cộng trừ các hệ số để thu gọn.
- Kiến thức then chốt 3: Cách 2 - Cộng, trừ đa thức theo cột dọc: Bước 1: Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần; Bước 2: Đặt tính sao cho các đơn thức có cùng bậc thẳng cột với nhau; Bước 3: Thực hiện cộng hoặc trừ từng cột.
- Kiến thức then chốt 4: Lưu ý khi trừ đa thức cột dọc: Cần lấy hệ số của đa thức bị trừ trừ đi hệ số của đa thức trừ (đặc biệt chú ý đổi dấu khi trừ số âm: ).
- Kiến thức then chốt 5: Bậc của đa thức tổng / hiệu: Bậc của đa thức tổng hoặc hiệu không lớn hơn bậc lớn nhất của hai đa thức thành phần ban đầu.
🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)
- Đơn thức đồng dạng: Hai đơn thức của cùng một biến có cùng số mũ được gọi là hai đơn thức đồng dạng. Muốn cộng hay trừ các đơn thức đồng dạng, ta cộng hay trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.
- Cách 1 - Cộng, trừ đa thức theo hàng ngang: Bước 1: Viết tổng hoặc hiệu các đa thức trong ngoặc; Bước 2: Bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc; Bước 3: Nhóm các đơn thức đồng dạng; Bước 4: Cộng trừ các hệ số để thu gọn.
- Cách 2 - Cộng, trừ đa thức theo cột dọc: Bước 1: Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần; Bước 2: Đặt tính sao cho các đơn thức có cùng bậc thẳng cột với nhau; Bước 3: Thực hiện cộng hoặc trừ từng cột.
- Lưu ý khi trừ đa thức cột dọc: Cần lấy hệ số của đa thức bị trừ trừ đi hệ số của đa thức trừ (đặc biệt chú ý đổi dấu khi trừ số âm: ).
- Bậc của đa thức tổng / hiệu: Bậc của đa thức tổng hoặc hiệu không lớn hơn bậc lớn nhất của hai đa thức thành phần ban đầu.