Toán học lớp 8 · KNTT · Chương 6

Lý thuyết Toán 8 Bài 21: Phân thức đại số

Chương 6: Phân thức đại số · Kết nối tri thức với cuộc sống

Tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 21: Phân thức đại số theo chương trình SGK Kết nối tri thức với cuộc sống. Hệ thống hoá lý thuyết định nghĩa, định lí, tính chất hình học và đại số, phương pháp giải, hình vẽ minh hoạ, bảng tổng hợp và câu hỏi ôn tập có đáp án chi tiết.

Lớp

6 7 8 9

Môn

Toán học Ngữ văn Tiếng Anh Khoa học tự nhiên Lịch sử & Địa lý Giáo dục công dân Tin học Công nghệ

I. Kiến thức trọng tâm Bài 21: Phân thức đại số

Phân thức đại số lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức)

Bài giảng: Bài 21: Phân thức đại số - Cô Ngọc Anh (Giáo viên VietJack)

Lý thuyết Phân thức đại số

1. Phân thức đại số

• Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ , trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

• A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Nhận xét: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, số 0 và số 1 cũng là những phần thức đại số.

Ví dụ 1. Chỉ ra các phân thức trong các biểu thức sau:

$\frac{x + 1}{x - 1}; \frac{x y z}{x^{2} + y - z^{3}}; \frac{\sqrt{2 x}}{y};$ $\sqrt{3} + x; x^{5} + 2 x^{2} - 3.$

Hướng dẫn giải

Trong các biểu thức trên có $\frac{x + 1}{x - 1}; \frac{x y z}{x^{2} + y - z^{3}};$ $\sqrt{3} + x; x^{5} + 2 x^{2} - 3$ là phân thức.

Biểu thức $\frac{\sqrt{2 x}}{y}$ không phải là phân thức vì $\sqrt{2 x}$ không phải là đa thức.

• Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để mẫu thức B khác 0.

Khi thay các biến của phân thức đại số bằng các giá trị nào đó (thỏa mãn điều kiện xác định), ta nhận được một biểu thức số. Giá trị của biểu thức này được gọi là giá trị của phân thức đại số tại các giá trị đã cho của biến.

Ví dụ 2. Cho các phân thức $A = \frac{3 x^{2} + 1}{x - 1}$ và $B = \frac{x + y}{x - y}$

a) Viết điều kiện xác định của phân thức A và B.

b) Tính giá trị của phân thức A tại x = 0.

c) Tính giá trị của phân thức B tại x = 0, y = 1 và tại x = –2 và y = –2.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phân thức A là x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1.

Điều kiện xác định của phân thức B là x – y ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn x – y ≠ 0).

b) Khi x = 0 (thỏa mãn điều kiện xác định), ta có $A = \frac{{3.0}^{2} + 1}{0 - 1} = \frac{1}{- 1} = - 1.$

c) Khi x = 0 và y = 1 thì x – y = –1 ≠ 0 thỏa mãn điều kiện xác định, ta có: $B = \frac{0 + 1}{- 1} = - 1.$

Khi x = –2 và y = –2 thì x – y = 0 nên điều kiện xác định không được thỏa mãn.

Vậy giá trị của phân thức B tại x = –2 và y = –2 không xác định.

Ví dụ 3. Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:

a) $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ ;

b) $5 x$

II. Bảng tổng hợp & so sánh kiến thức trọng tâm

Khái niệm	Định nghĩa & Quy tắc	Ví dụ minh họa
Phân thức đại số	Biểu thức dạng $\frac{A}{B}$ với $A, B$ là đa thức, $B \neq 0$	$\frac{x - 1}{x + 2}$ , $\frac{3x^2}{y}$ , $\frac{x^2 - 4}{2x + 1}$
Tử thức & Mẫu thức	$A$ là tử thức, $B$ là mẫu thức. Mỗi đa thức $A = \frac{A}{1}$	Số thực $5 = \frac{5}{1}$ , đa thức $x + 3 = \frac{x + 3}{1}$
Hai phân thức bằng nhau	$\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \Leftrightarrow A \cdot D = B \cdot C$	$\frac{x - 1}{x^2 - 1} = \frac{1}{x + 1}$ vì $(x - 1)(x + 1) = 1 \cdot (x^2 - 1)$
Điều kiện xác định (ĐKXĐ)	Giá trị của biến làm cho mẫu thức khác 0: $B \neq 0$	$\frac{1}{x - 3}$ xác định khi $x - 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 3$

III. Ghi nhớ trọng tâm "Em đã học"

📌 Các điểm then chốt cần ghi nhớ:

Kiến thức then chốt 1: Phân thức đại số (phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ , trong đó $A, B$ là những đa thức và $B$ khác đa thức 0.
Kiến thức then chốt 2: $A$ gọi là tử thức (tử), $B$ gọi là mẫu thức (mẫu).
Kiến thức then chốt 3: Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1: $A = \frac{A}{1}$ .
Kiến thức then chốt 4: Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $A \cdot D = B \cdot C$ (viết là $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ ).
Kiến thức then chốt 5: Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là giá trị của các biến làm cho mẫu thức khác 0: $B \neq 0$ .

🌟 Em đã học (Ghi nhớ kiến thức trọng tâm)

Phân thức đại số (phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ , trong đó $A, B$ là những đa thức và $B$ khác đa thức 0.
$A$ gọi là tử thức (tử), $B$ gọi là mẫu thức (mẫu).
Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1: $A = \frac{A}{1}$ .
Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu $A \cdot D = B \cdot C$ (viết là $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ ).
Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là giá trị của các biến làm cho mẫu thức khác 0: $B \neq 0$ .

Câu hỏi ôn tập & củng cố bài học

Phân thức đại số là gì? Cho ví dụ về một biểu thức là phân thức và một biểu thức không phải phân thức.

Phân thức đại số là biểu thức có dạng

\frac{A}{B}

, trong đó

A, B

là những đa thức và

B

khác đa thức 0. Ví dụ:

\frac{2x - 1}{x^2 + 1}

là phân thức đại số. Biểu thức

\frac{\sqrt{x}}{x - 1}

không phải phân thức đại số vì tử số

\sqrt{x}

không phải là đa thức.

Nêu điều kiện xác định của phân thức đại số và tìm ĐKXĐ của

\frac{x + 1}{x^2 - 4}

Điều kiện xác định của phân thức là giá trị của các biến làm cho mẫu thức khác 0. Với phân thức

\frac{x + 1}{x^2 - 4}

, mẫu thức là

x^2 - 4

. Ta có:

x^2 - 4 \neq 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2

và

x \neq -2

Khi nào thì hai phân thức

\frac{A}{B}

và

\frac{C}{D}

được gọi là bằng nhau?

Hai phân thức

\frac{A}{B}

và

\frac{C}{D}

bằng nhau nếu

A \cdot D = B \cdot C

(tích chéo bằng nhau).

Một số thực bất kì hoặc một đa thức có phải là phân thức đại số không?

Có. Mọi số thực hoặc đa thức

A

đều là phân thức đại số với mẫu thức bằng 1:

A = \frac{A}{1}

Đề luyện tập theo bài

Toán 8 KNTT: Chương 6 Bài 21: Phân thức đại số: Đề 1 Nhận biết22 câu hỏi · Nhận biết

Làm đề

Toán 8 KNTT: Chương 6 Bài 21: Phân thức đại số: Đề 2 Thông hiểu22 câu hỏi · Thông hiểu

Làm đề

Toán 8 KNTT: Chương 6 Bài 21: Phân thức đại số: Đề 3 Vận dụng22 câu hỏi · Vận dụng

Làm đề

Toán 8 KNTT: Chương 6 Bài 21: Phân thức đại số: Đề 4 Vận dụng cao22 câu hỏi · Vận dụng cao

Làm đề

Toán 8 KNTT: Chương 6 Bài 21: Phân thức đại số: Đề 5 Tổng hợp22 câu hỏi · Tổng hợp

Làm đề